朗斯基行列式

在數學中，朗斯基行列式（Wronskian）名自波蘭數學家約瑟夫·瑪麗亞·何內-朗斯基，是用於計算微分方程的解空間的函數。

對於給定的 n 個n-1 次連續可微函數，f₁、...、f_n，它們的朗斯基行列式 W(f₁, ..., f_n) 為：

W(f_{1},\ldots ,f_{n})={\begin{vmatrix}f_{1}&f_{2}&\cdots &f_{n}\\f_{1}'&f_{2}'&\cdots &f_{n}'\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}^{(n-1)}&f_{2}^{(n-1)}&\cdots &f_{n}^{(n-1)}\end{vmatrix}}

行列式的第 i 列是f₁、...、f_n 各函數的 i-1 次導數。組成這個行列式的 n 階方陣也稱作這 n 個函數的基本矩陣。

在解線性微分方程時，朗斯基行列式可以用阿貝爾恆等式來計算。

朗斯基行列式與線性無關解

朗斯基行列式可以用來確定一組函數在給定區間上的線性相關性。

對於 n 個n-1 次連續可微函數 f₁、...、f_n，它們的朗斯基行列式 W(f₁, ..., f_n) :

W(f_{1},\ldots ,f_{n})={\begin{vmatrix}f_{1}&f_{2}&\cdots &f_{n}\\f_{1}'&f_{2}'&\cdots &f_{n}'\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}^{(n-1)}&f_{2}^{(n-1)}&\cdots &f_{n}^{(n-1)}\end{vmatrix}}

定理：

如果 f₁、...、f_n 在一個區間 [a, b] 上線性相關，則 W(f₁, ..., f_n) 在區間 [a, b] 上恆等於零。

也就是說，如果在某些點上 W(f₁, ..., f_n) 不等於零，則 f₁、...、f_n 線性無關

注意，若 W(f₁, ..., f_n) 在區間 [a,b] 上恆等於零，函數組不一定線性相關。

齊次線性微分方程

考慮 n 階線性微分方程：

{\frac {d^{n}x}{dt^{n}}}+a_{1}(t){\frac {d^{n-1}x}{dt^{n-1}}}+\cdots +a_{n-1}(t){\frac {dx}{dt}}+a_{n}(t)x=f(t)\qquad \qquad \qquad (1)

其中 $a_{1}(t),\ a_{2}(t),\ \cdots ,\ a_{n}(t),\ f(t)$ 是區間 [a,b] 上的連續函數。並考慮 $f(t)=0$ ，即 n 階齊次線性微分方程的情形：

{\frac {d^{n}x}{dt^{n}}}+a_{1}(t){\frac {d^{n-1}x}{dt^{n-1}}}+\cdots +a_{n-1}(t){\frac {dx}{dt}}+a_{n}(t)x=0\qquad \qquad \qquad \quad (2)

對於一組給定的初始值：

x(0)=x_{0},\ {\frac {dx}{dt}}(0)=x_{1},\ \cdots ,\ {\frac {d^{n-1}x}{dt^{n-1}}}(0)=x_{n-1}

方程 (1) 有唯一解 $x=\phi (t)$ 。如果初始值不定的話，(2) 的任一解加上 $x=\phi (t)$ 仍然是 (1) 的解。而對於 (2) ，任意k個 (2) 的解的和仍然是 (2) 的解，因此 (2) 的解集構成一個線性空間，稱為 (2) 的解空間。

定理的證明

如果 f₁、...、f_n 在一個區間 [a,b] 上線性相關，則存在不全為零的係數 $c_{1},\ c_{2}\ \cdots ,\ c_{n}$ 使得對區間 [a,b] 上的任意 t，

c_{1}f_{1}(t)+c_{2}f_{2}(t)+\cdots c_{n}f_{n}(t)=0

因為「微分」是線性算子，所以這個等式可以「延伸」到n-1階導數。故有以下方程組：

{\begin{cases}c_{1}f_{1}(t)+c_{2}f_{2}(t)+\cdots c_{n}f_{n}(t)=0\\c_{1}f_{1}'(t)+c_{2}f_{2}'(t)+\cdots c_{n}f_{n}'(t)=0\\\ldots \\c_{1}f_{1}^{(n-1)}(t)+c_{2}f_{2}^{(n-1)}(t)+\cdots c_{n}f_{n}^{(n-1)}(t)=0\end{cases}}

將 $c_{1},\ c_{2}\ \cdots ,\ c_{n}$ 看作變量，則上式變為一個 n 元齊次線性方程組，由於這個方程有非零解，係數矩陣的行列式 W(f₁, ..., f_n) = 0。

進一步可以證明， W(f₁, ..., f_n) 要麼在區間 [a,b] 上恆等於零，要麼處處不為零（沒有零根）。於是可以證明 (2) 有 n 個線性無關的解，並且它們線性張成的空間就是 (2) 的解空間。所以， (2) 的解空間是一個 n 維線性空間。 (2) 一組 n 個線性無關的解稱作它的一個基本解組。