有界輸入有界輸出穩定性

在訊號處理及控制理論中，有界輸入有界輸出穩定性簡稱BIBO穩定性，是一種針對有輸入訊號線性系統的穩定性。BIBO是「有界輸入有界輸出」（Bounded-Input Bounded-Output）的簡稱，若系統有BIBO穩定性，則針對每一個有界的輸入，系統的輸出也都會有界，不會發散到無限大。

對於訊號若存在有限的定值$B>0$使得訊號的振幅不會超過$B$，則此訊號為有界的，也就是說

$\ |y[n]|\leq B\quad \forall n\in \mathbb {Z}$ 針對離散訊號，或

$\ |y(t)|\leq B\quad \forall t\in \mathbb {R}$ 針對連續訊號

線性非時變系統時域分析下的條件

連續系統的充份及必要條件

針對連續時間的線性非時變（LTI）系統，BIBO穩定性的條件是脈衝響應需為絕對可積分，也就是存在L¹範數

$\int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)\right|\,{\mathord {\operatorname {d} }}t}=\|h\|_{1}<\infty$

離散系統的充份條件

針對離散時間的線性非時變系統，BIBO穩定性的條件是脈衝響應需為絕對可積分，也就是存在L¹範數

$\ \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]\right|}=\|h\|_{1}<\infty$

充份條件的證明

假設離散時間的線性非時變系統，其脈衝響應$\ h[n]$和輸入$\ x[n]$和輸出$\ y[n]$之間會有以下的關係：

$\ y[n]=h[n]*x[n]$

其中$*$為卷積 則依卷積的定義：

$\ y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h[k]x[n-k]}$

令$\|x\|_{\infty }$為$\ |x[n]|$的最大值

$\left|y[n]\right|=\left|\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h[n-k]x[k]}\right|$

$\leq \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[n-k]\right|\left|x[k]\right|}$（根據三角不等式）

$\leq \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[n-k]\right|\|x\|_{\infty }}$

$=\|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[n-k]\right|}$

$=\|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[k]\right|}$

若$h[n]$是絕對可求和，則$\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[k]\right|}=\|h\|_{1}<\infty$且

$\|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[k]\right|}=\|x\|_{\infty }\|h\|_{1}$

因此若$h[n]$是絕對可求和，且$\left|x[n]\right|$有界，則因為$\|x\|_{\infty }\|h\|_{1}<\infty$，$\left|y[n]\right|$也會有界。

連續時間的情形也可以依類似的方式證明。

線性非時變系統頻域分析下的條件

連續時間訊號

對於一個有理的連續時間系統，穩定性的條件是拉普拉斯轉換的收斂區域包括複數平面的虛軸。若系統為因果系統，其收斂區域為「最大極點」（實部為最大值的極點）實部垂直線往右的開集，定義收斂區域的極點實部稱為收斂橫坐標。因此，若要有BIBO穩定性，系統的所有極點都需在S平面的嚴格左半平面（不能在虛軸上）。

可以將時域分析下的穩定性條件擴展到頻域下：

$\int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)\right|\,\operatorname {d} t}$

$=\int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)\right|\left|e^{-j\omega t}\right|dt}$

$=\int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)(1\cdot e)^{-j\omega t}\right|dt}$

$=\int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)(e^{\sigma +j\omega })^{-t}\right|dt}$

$=\int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)e^{-st}\right|dt}$

其中$s=\sigma +j\omega$，且${\mbox{Re}}(s)=\sigma =0$.

因此收斂區域必須包括虛軸。

離散時間訊號

對於一個有理的離散時間系統，穩定性的條件是Z轉換的收斂區域包括單位圓。若系統為因果系統，其收斂區域為極點絕對值中最大值為半徑的圓周以外的開集，因此，若要有BIBO穩定性，系統的所有極點都需在Z平面的單位圓內（不能在單位圓上）。

可以用類似的方式推導穩定性準則：

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]\right|}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]\right|\left|e^{-j\omega n}\right|}$

$=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n](1\cdot e)^{-j\omega n}\right|}$

$=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n](re^{j\omega })^{-n}\right|}$

$=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]z^{-n}\right|}$

其中$z=re^{j\omega }$，且$r=|z|=1$

因此收斂區域必須包括單位圓。

相關條目

• 線性時不變系統理論
• 有限脈衝響應（FIR）濾波器
• 無限脈衝響應（IIR）濾波器
• 奈奎斯特圖
• 羅斯-霍維茨穩定性準則
• 波德圖
• 相位裕度
• 根軌跡法
• 超穩定性

延伸閱讀

• Gordon E. Carlson Signal and Linear Systems Analysis with Matlab second edition, Wiley, 1998, ISBN 0-471-12465-6
• John G. Proakis and Dimitris G. Manolakis Digital Signal Processing Principals, Algorithms and Applications third edition, Prentice Hall, 1996, ISBN 0-13-373762-4
• D. Ronald Fannin, William H. Tranter, and Rodger E. Ziemer Signals & Systems Continuous and Discrete fourth edition, Prentice Hall, 1998, ISBN 0-13-496456-X
• Proof of the necessary conditions for BIBO stability. （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Christophe Basso Designing Control Loops for Linear and Switching Power Supplies: A Tutorial Guide first edition, Artech House, 2012, 978-1608075577