指數增長

指數增長（包括指數衰減）指一個函數的增長率與其函數值成比例。在定義域為離散的且等差的情況下。

該圖說明了指數增長（綠色）如何超過線性增長（紅色）和冪增長（藍色）。

  指數增長

  線性增長

  冪增長

指數增長模型也稱作馬爾薩斯增長模型。

基本公式

變量x指數地依賴時間t，若

$x(t)=a\cdot b^{\frac {t}{\tau }}\,$

其中常數a是x的初始值，

$x(0)=a\,,$

並且，常數b是正的增長率，τ為x增長b倍所需時間：

$x(t+\tau )=x(t)\cdot b\,.$

若τ > 0且b > 1，則x為指數增長。若τ < 0且b > 1，或τ > 0且0 < b < 1，則x為指數衰減。

微分方程

指數函數$\scriptstyle x(t)=ae^{kt}$滿足線性微分方程：

$\!\,{\frac {dx}{dt}}=kx$

則稱t時刻x的增長率與函數值x(t)成正比，且初值為：

$x(0)=a.\,$

對於$\scriptstyle a>0$微分方程可以使用分離變量法求解：

${\frac {dx}{dt}}=kx$

$\Rightarrow {\frac {dx}{x}}=k\,dt$

$\Rightarrow \int {\frac {dx}{x}}=\int k\,dt$

$\Rightarrow \ln x=kt+{\text{constant}}\,.$

考慮到給定初值：

$\ln x=kt+\ln a\,$

$\Rightarrow x=ae^{kt}\,$

這種解法對於$\scriptstyle a\leq 0$同樣適用。

對於該增長模型的非線性變體，請參考Logistic函數。

相關條目

• 摩爾定律
• 國際象棋盤與麥粒問題

資料引用

• Meadows, Donella H., Dennis L. Meadows, Jørgen Randers, and William W. Behrens III. (1972) The Limits to Growth. New York: University Books. ISBN 0-87663-165-0
• Porritt, J. Capitalism as if the world matters, Earthscan 2005. ISBN 1-84407-192-8
• Thomson, David G. Blueprint to a Billion: 7 Essentials to Achieve Exponential Growth, Wiley Dec 2005, ISBN 0-471-74747-5
• Tsirel, S. V. 2004. On the Possible Reasons for the Hyperexponential Growth of the Earth Population. Mathematical Modeling of Social and Economic Dynamics / Ed. by M. G. Dmitriev and A. P. Petrov, pp. 367–9. Moscow: Russian State Social University, 2004.