完備性 (統計學)

統計學名詞

統計學中, 完備性,又稱完全性統計量的一個性質。 從本質上講,它確保不同的參數值對應的分佈是不同的。一個具有完備性的統計量稱為完全統計量

定義

考慮一個隨機變量   ,其概率分佈    為參數。稱一個統計量  完全的,若對任意可測函數  [1]

如果對所有   都有  ,則   對所有   都成立。

若對上述函數   加上有界的條件,則稱該統計量為有界完全的

例子

 是來自參數為 伯努利分佈的獨立隨機樣本,其中 。統計量  的完全統計量。注意到 服從參數為  二項分佈。若有某個 ,使得  都成立,則

 

 ,則多項式  上恆為0。可知其每一項系數都為0,進而得到 。由定義,  的完全統計量。

完備性的重要性

巴蘇定理

界完備性出現在巴蘇定理中,[2] 它指出任何有界完全且充分的統計量與任何輔助統計量獨立。

Bahadur定理

有界完備性也出現在Bahadur定理中。 定理指出,當至少存在一個最小充分統計量時,如果一個統計量是充分的並且有界完全的,則它是一個最小充分統計量。

註釋

  1. ^ Young, G. A. and Smith, R. L. (2005). Essentials of Statistical Inference. (p. 94). Cambridge University Press.
  2. ^ Casella, G. and Berger, R. L. (2001). Statistical Inference. (pp. 287). Duxbury Press.

參考文獻