完備性 (統計學)
統計學名詞
在統計學中, 完備性,又稱完全性是統計量的一個性質。 從本質上講,它確保不同的參數值對應的分佈是不同的。一個具有完備性的統計量稱為完全統計量。
定義
考慮一個隨機變量 ,其概率分佈 以 為參數。稱一個統計量 是完全的,若對任意可測函數 ,[1]
- 如果對所有 都有 ,則 對所有 都成立。
若對上述函數 加上有界的條件,則稱該統計量為有界完全的。
例子
若 是來自參數為 的伯努利分佈的獨立隨機樣本,其中 。統計量 是 的完全統計量。注意到 服從參數為 和 的二項分佈。若有某個 ,使得 對 都成立,則
令 ,則多項式 在 上恆為0。可知其每一項系數都為0,進而得到 。由定義, 是 的完全統計量。
完備性的重要性
巴蘇定理
有界完備性出現在巴蘇定理中,[2] 它指出任何有界完全且充分的統計量與任何輔助統計量獨立。
Bahadur定理
有界完備性也出現在Bahadur定理中。 定理指出,當至少存在一個最小充分統計量時,如果一個統計量是充分的並且有界完全的,則它是一個最小充分統計量。
註釋
參考文獻
- Basu, D. J. K. Ghosh , 編. Statistical information and likelihood : A collection of critical essays by Dr. D. Basu. Lecture Notes in Statistics 45. Springer. 1988. ISBN 0-387-96751-6. MR 0953081.
- Bickel, Peter J.; Doksum, Kjell A. Mathematical statistics, Volume 1: Basic and selected topics Second (updated printing 2007) of the Holden-Day 1976. Pearson Prentice–Hall. 2001. ISBN 0-13-850363-X. MR 0443141.
- E. L., Lehmann; Romano, Joseph P. Testing statistical hypotheses. Springer Texts in Statistics Third. New York: Springer. 2005: xiv+784 [2017-12-25]. ISBN 0-387-98864-5. MR 2135927. (原始內容存檔於2013-02-02).
- Lehmann, E.L.; Scheffé, H. Completeness, similar regions, and unbiased estimation. I.. Sankhyā: the Indian Journal of Statistics. 1950, 10 (4): 305–340. JSTOR 25048038. MR 0039201.
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