孤立奇異點

假設X是一個代數簇,P∈X是X上的一個奇異點,如果存在一個包含P的開鄰域(又稱開集)U,使得U中不在包含其他的奇異點, 那麼就稱P是孤立奇異點

亞純函數中,所有奇異點都是孤立的;但如果一個函數的所有奇異點都是孤立的,並不能保證它是亞純函數。複分析中許多有用的工具,例如洛朗展開留數定理等,都需要保證相關奇異點的孤立性才能應用。

孤立奇異點分為三種:

例子

函數  處有孤立奇異點。

餘割函數 在所有整數點處有孤立奇異點。

函數  處有孤立奇異點,這是一個本質奇異點。

複分析中孤立奇異點與洛朗展開的關係

可去奇異點、極點、本性奇異點的定義

三種孤立奇異點有許多等價定義,以下列出部分,用以說明與洛朗級數的關係。

  1. 一個孤立奇異點 被稱作可去奇異點,如果 
  2. 一個孤立奇異點 被稱作極點,如果 
  3. 一個孤立奇異點 被稱作本性奇異點(又譯作本質奇異點),如果極限 不存在。

洛朗級數的主要部分

複函數 在一個以點 為圓心的解析的環形區域 上可以展開成這樣的級數形式

 

其中, 具有這樣的形式: 。積分路徑γ是一條逆時針方向的可求長曲線,把c包圍起來,位於圓環A內。

此時, 的洛朗展開式中,指數為負數的部分 稱作 主要部分(principal part)。

可去奇異點、極點、本性奇異點與洛朗級數的主要部分的關係

以下可以看作可去奇異點、極點、本性奇異點又一等價定義。

  1. 假設 是複函數 的一個可去奇異點,則  處鄰域內的洛朗級數展開式不含有主要部分。
  2. 假設 是複函數 的一個極點,則  處鄰域內的洛朗級數展開式的主要部分僅含有有限項;且主要部分的項數恰等於極點 的階數。
  3. 假設 是複函數 的一個本性奇異點,則  處鄰域內的洛朗級數展開式的主要部分含有無窮多項。

證明

相關例子與應用

參見

外部連結