墨卡托級數

在數學內，墨卡托級數（Mercator series）或者牛頓-墨卡托級數（Newton–Mercator series）是一個自然對數的泰勒級數：

$\ln(1+x)\;=\;x\,-\,{\frac {x^{2}}{2}}\,+\,{\frac {x^{3}}{3}}\,-\,{\frac {x^{4}}{4}}\,+\,\cdots .$

使用大寫sigma表示則為

$\ln(1+x)\;=\;\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}.$

當 −1 < x ≤ 1時，此級數收斂於自然對數（加了1）。

歷史

這級數被尼古拉斯·墨卡托，牛頓和Gregory Saint-Vincent分別獨立發現。首先被墨卡托出版於其1668年時的著作Logarithmo-technica。

推導

這級數可以由泰勒公式導出，藉由不斷地計算第n次ln x在x = 1時的微分，一開始是

${\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}.$

或者，我們可以從有限的等比數列開始(t ≠ −1)

$1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}={\frac {1-(-t)^{n}}{1+t}}$

這可以導出

${\frac {1}{1+t}}=1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}+{\frac {(-t)^{n}}{1+t}}.$

然後得到

$\int _{0}^{x}{\frac {dt}{1+t}}=\int _{0}^{x}\left(1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}+{\frac {(-t)^{n}}{1+t}}\right)\,dt$

接着逐項積分，

$\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots +(-1)^{n-1}{\frac {x^{n}}{n}}+(-1)^{n}\int _{0}^{x}{\frac {t^{n}}{1+t}}\,dt.$

若−1 < x ≤ 1，餘項會在$n\to \infty$時趨近於零。

這個表示法可以重複積分k次，得到

$-xA_{k}(x)+B_{k}(x)\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {x^{n+k}}{n(n+1)\cdots (n+k)}},$

這裏的

$A_{k}(x)={\frac {1}{k!}}\sum _{m=0}^{k}{k \choose m}x^{m}\sum _{l=1}^{k-m}{\frac {(-x)^{l-1}}{l}}$

和

$B_{k}(x)={\frac {1}{k!}}(1+x)^{k}$

都是x的多項式。

特例

令墨卡托級數裏面的x = 1，則我們會得到交錯調和級數

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}=\ln 2.$

複數級數

下面的複數冪級數

$z\,-\,{\frac {z^{2}}{2}}\,+\,{\frac {z^{3}}{3}}\,-\,{\frac {z^{4}}{4}}\,+\,\cdots$

是ln(1 + z)的泰勒級數，這裏ln代表複對數（complex logarithm）的主要分支（principal branch）。這個級數收斂於一個開放的單位圓盤 |z| < 1 以及圓 |z| = 1 ， z = -1除外 (根據阿貝爾判別法)，而且這裏的收斂對每個半徑小於一的圓盤是一致的 。

參考資料

• 埃里克·韋斯坦因. Mercator Series. MathWorld. 
• Eriksson, Larsson & Wahde. Matematisk analys med tillämpningar, part 3. Gothenburg 2002. p. 10.
• Some Contemporaries of Descartes, Fermat, Pascal and Huygens （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） from A Short Account of the History of Mathematics (4th edition, 1908) by W. W. Rouse Ball