圓內接四邊形的日本定理

幾何學中,圓內接四邊形的日本定理指出,圓內接四邊形內某些三角形內心形成一個矩形

任意圓內四邊形被對角線分成四個三角形(每條對角線分出兩個三角形)。這些三角形的內心形成一個矩形。

具體而言,設ABCD為任意圓內接四邊形, M1, M2, M3, M4分別為三角形ABD, ABC, BCD, ACD內心,則M1, M2, M3, M4所構成的四邊形為矩形。

證明1

 
M1M2M3M4是矩形。

 

(以下稱為 角),因為這兩個角都是弦 的周角。

因為

 

由此可得,

 

由於這些角相等, 是一個圓內接四邊形

根據圓內接四邊形的性質,現在有 

同樣地,對於 也成立:

 

角度相加,得到以下結果

 

由於

 

所以

 

以上對於點 之間的其他角度也同樣成立,它們都是 

因此, 是一個矩形。證畢。[1]

證明2

根據Thébault定理(3)有如下結論[2]

定理 — 
 
Thébault定理(3)
給定任意三角形  上任意一點 。作兩個圓,均與  、外接圓相切。該兩圓的圓心  和三角形內心 三點共線共線,且
 

其中 .

下面開始處理原題。

 
4個黃色圓    .

先標記題目中四個三角形的內心    .

假設對角線 ACBD 交於 E.

與線段 AEBE 及外接圓相切的圓的圓心記為 

類似地,與線段 BECE 及外接圓相切的圓的圓心記為 、與線段 CEDE 及外接圓相切的圓的圓心記為 、與線段 DEAE 及外接圓相切的圓的圓心記為 .

AEBE 的夾角是 ,根據上面的Thébault定理(3)有如下結論:

   三點共線,且

 

同理,   三點共線,且

 

所以,

 

由於   (因為它們沿着角   的角平分線),所以  ,所以   是矩形。證畢。

推廣

 作四邊形的對角線的平行線,形成一個平行四邊形,由作圖可知平行四邊形為菱形,於是「與各對角線相切的內切圓半徑之和相等」。

該定理可推廣到圓內接多邊形的日本定理

證明了四邊形的情況後,可以把一般多邊形分成三角形進行歸納而立即證明一般情況。

又見

參考

  1. ^ 证明 – 圆内接四边形的日本定理 Beweisarchiv – Japanischer Satz für konzyklische Vierecke. Wikibooks. [2024-06-18]. (原始內容存檔於2024-06-18) (德語). 
  2. ^ Wilfred Reyes: An Application of Thebault's Theorem頁面存檔備份,存於互聯網檔案館). Forum Geometricorum, Volume 2, 2002, pp. 183–185

外部連結