圖形 (資料結構)
在電腦科學中，圖形（英語：graph）是一種抽象資料類型，用於實現數學中圖形論的無向圖形和有向圖形的概念。
圖形的資料結構包含一個有限（可能是可變的）的集合作為節點集合，以及一個無序對（對應無向圖形）或有序對（對應有向圖形）的集合作為邊（有向圖形中也稱作弧）的集合。節點可以是圖形結構的一部分，也可以是用整數下標或參照表示的外部實體。
圖形的資料結構還可能包含和每條邊相關聯的數值（edge value），例如一個標號或一個數值（即權重，weight；表示花費、容量、長度等）。
操作
圖形資料結構G支援的基本操作通常包括：[1]
adjacent(G, x, y)：檢視是否存在從節點x到y的邊；neighbors(G, x)：列出所有從x出發的邊的另一個頂點y；add_vertex(G, x)：如果不存在，將節點x添加進圖形；remove_vertex(G, x)：如果存在，從圖形中移除節點x；add_edge(G, x, y)：如果不存在，添加一條從節點x到y的邊；remove_edge(G, x, y)：如果存在，從圖形中移除從節點x到y的邊；get_vertex_value(G, x)：返回節點x上的值；set_vertex_value(G, x, v)：將節點x上的值賦為v。
如果該資料結構支援和邊關聯的數值，則通常也支援下列操作[1]：
get_edge_value(G, x, y)：返回邊(x, y)上的值；set_edge_value(G, x, y, v)：將邊(x, y)上的值賦為v。
圖形的常見資料結構
- 鄰接表[2][3]
- 節點儲存為記錄或物件，且為每個節點建立一個列表。這些列表可以按節點儲存其餘的資訊；例如，若每條邊也是一個物件，則將邊儲存到邊起點的列表上，並將邊的終點儲存在邊這個的物件本身。
- 鄰接矩陣[4][5]
- 一個二維矩陣，其中行與列分別表示邊的起點和終點。頂點上的值儲存在外部。矩陣中可以儲存邊的值。
- 關聯矩陣[6]
- 一個二維矩陣，行表示頂點，列表示邊。矩陣中的數值用於標識頂點和邊的關係（是起點、是終點、不在這條邊上等）。
下表給出了在圖形上進行各種操作的複雜度。其中，用|V|表示節點數量，|E|表示邊的數量。同時假設儲存的資訊是邊上對應的值，如果沒有對應值則儲存∞。
| 鄰接表 | 鄰接矩陣 | 關聯矩陣 | |
|---|---|---|---|
| 空間複雜度 [7] | |||
| 儲存一張圖形 | |||
| 時間複雜度 [8] | |||
| 添加節點 | |||
| 添加邊 | |||
| 移除節點 | |||
| 移除邊 | |||
| 檢查節點x和y是否鄰接（假設已知兩個節點對應的儲存位置） | |||
| 註釋 | 移除節點或邊速度較慢，因為需要找到相連的邊或節點 | 增減節點速度較慢，因為需要修改矩陣的大小 | 增減節點或邊速度較慢，因為需要修改矩陣的大小 |
鄰接表在稀疏圖形上比較有效率。鄰接矩陣則常在圖形比較稠密的時候使用，判斷標準一般為邊的數量|E |接近於節點的數量的平方|V |2；鄰接矩陣也在尋找兩節點鄰接情況較為頻繁時使用。[9][10]
平行計算
圖形問題的平行計算主要存在如下幾種困難：處理大量的資料、求解非常規的問題、資料不分散、資料存取對計算的比例很高等。[11][12]面對這些困難，平行計算中圖形的表示和儲存方式很重要。如果選取了不合適的表示方式，可能帶來不必要的通訊花費，進而影響演算法的可延伸性。在本節中，平行計算的共用和分散式儲存模型都在考慮之列。
共用儲存
在共用儲存模型下，圖形的表示和非平行計算中的場景是相同的，[13]，因為在此模型下，對圖形表示（如鄰接表）的並列讀取操作效率已經足夠高了。
分散式儲存
在分散式儲存模型下，通常會採用劃分點集 為 個集合 的方式，其中 是並列處理器的數量。隨後，這些點集劃分及相連的邊按照標號分配給每個並列處理器。每個處理器儲存原圖形的一個子圖形，而那些兩個頂點分屬兩個子圖形的邊則需額外特殊處理。在分散式圖形演算法中，處理這樣的邊往往意味着處理器之間的通訊。[13]
圖形的劃分需要謹慎地在降低通訊複雜度和使劃分均勻之間取捨。[14]但圖形劃分本身就是NP難問題。因此，實踐中會使用啟發式方法。
圖形的壓縮儲存
機器學習、社會網絡分析等領域中，有時會處理數萬億條邊的圖形。圖形的壓縮儲存可以減少存取和主記憶體壓力。霍夫曼編碼等一些資料壓縮的常見方法是可行的。同時，鄰接表、鄰接矩陣等也有專門的壓縮儲存方法以提高效率。[15]
參見
參考資料
- ^ 1.0 1.1 參見Goodrich & Tamassia (2015), Section 13.1.2: Operations on graphs, p. 360。更多細節也可參見Mehlhorn, K.; Näher, S., Chapter 6: Graphs and their data structures, LEDA: A platform for combinatorial and geometric computing, Cambridge University Press: 240–282, 1999.
- ^ Cormen et al. 2001，第528–529頁.
- ^ Goodrich & Tamassia 2015，第361-362頁.
- ^ Cormen et al. 2001，第529–530頁.
- ^ Goodrich & Tamassia 2015，第363頁.
- ^ Cormen et al. 2001，Exercise 22.1-7, p. 531.
- ^ Cormen et al. 2001，第589-591頁.
- ^ Goodrich & Tamassia 2015，§13.1.3.
- ^ Cormen, Thomas H.; Leiserson, Charles E.; Rivest, Ronald L.; Stein, Clifford, Section 22.1: Representations of graphs, Introduction to Algorithms Second, MIT Press and McGraw-Hill: 527–531, 2001, ISBN 0-262-03293-7.
- ^ Goodrich, Michael T.; Tamassia, Roberto, Section 13.1: Graph terminology and representations, Algorithm Design and Applications, Wiley: 355–364, 2015.
- ^ Bader, David; Meyerhenke, Henning; Sanders, Peter; Wagner, Dorothea. Graph Partitioning and Graph Clustering. Contemporary Mathematics 588. American Mathematical Society. January 2013. ISBN 978-0-8218-9038-7. doi:10.1090/conm/588/11709 （英語）.
- ^ LUMSDAINE, ANDREW; GREGOR, DOUGLAS; HENDRICKSON, BRUCE; BERRY, JONATHAN. Challenges in Parallel Graph Processing. Parallel Processing Letters. March 2007, 17 (1): 5–20. ISSN 0129-6264. doi:10.1142/s0129626407002843.
- ^ 13.0 13.1 Sanders, Peter; Mehlhorn, Kurt; Dietzfelbinger, Martin; Dementiev, Roman. Sequential and Parallel Algorithms and Data Structures: The Basic Toolbox. Springer International Publishing. 2019 [2021-08-14]. ISBN 978-3-030-25208-3. （原始內容存檔於2021-08-17） （英語）.
- ^ Parallel Processing of Graphs (PDF). [2021-08-14]. （原始內容存檔 (PDF)於2021-08-25）.
- ^ Besta, Maciej; Hoefler, Torsten. Survey and Taxonomy of Lossless Graph Compression and Space-Efficient Graph Representations. 27 April 2019. arXiv:1806.01799
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外部連結
- Boost Graph Library （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館），一個C++的圖形程式庫，例如Boost_C++_Libraries。
- Networkx （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館），一個Python圖形程式庫。
- GraphBLAS （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館），一個圖形操作的應用程式介面說明。特別關注了稀疏圖形。