唐納森-托馬斯理論
代數幾何中,唐納森–托馬斯理論是關於唐納森–托馬斯不變量的理論。給定卡拉比–丘三維流形上的層的緊模空間,其唐納森–托馬斯不變量是其點的虛數,即上同調1類對虛基類的積分。唐納森–托馬斯不變量是卡森不變量的全純類似物,由Simon Donaldson and Richard Thomas (1998)引入。唐納森–托馬斯不變量與代數三維流形的格羅莫夫-威滕不變量及Rahul Pandharipande、Thomas提出的穩對理論有密切聯繫。
唐納森–托馬斯理論的物理動機是弦論和規範場論中出現的某些BPS態。[1]:5這是因為不變量取決於所研究的模空間派生範疇的布里奇蘭穩定條件。從本質上講,其對應於卡拉比-丘流形的凱勒模空間中的點,如同鏡像對稱猜想中的考慮,而由此產生的子範疇是相應的超共形場論的BPS態範疇。
定義與例子
格羅莫夫-威滕不變量的基本思想是研究黎曼曲面到光滑目標的偽全純映射,以探測空間的幾何。所有映射的模疊都有虛基類,其上的相交理論產生的數值不變量通常包含枚舉信息。唐納森-托馬斯理論的方法也是通過方程,研究代數三維流形中的曲線,確切地說是用空間上的理想層進行研究。這一模空間也允許有虛基類,並產生某些可枚舉的數值不變量。
在格羅莫夫–威滕理論中,映射可以是域曲線的多重覆蓋與塌陷分量(collapsed component),而唐納森-托馬斯理論則允許層中包含零勢信息,不過這些都是整值不變量。Davesh Maulik、安德烈·奧昆科夫、Nikita Nekrasov、Rahul Pandharipande等人提出了更深層的猜想,即代數三維流形的格羅莫夫–威滕理論和唐納森-托馬斯理論實際上等價。[2]更具體地說,在適當改變變量後,它們的生成函數相等。對於卡拉比-丘三維流形,唐納森-托馬斯不變量可表為模空間上的加權歐拉特徵。最近,這些不變量、母題霍爾代數(motivic Hall algebra)與量子體上的函數環之間也出現了聯繫。[需要解釋]
- 五次三維流形上的線的模空間是含2875個點的離散集。點的虛擬數就是點的實際數,因此模空間的唐納森-托馬斯不變量就是2875。
- 相似地,五次上的圓錐的模空間的唐納森-托馬斯不變量是609250。
定義
對於卡拉比-丘三維流形 [3][4]與固定的上同調類 ,有相關的相容層(陳示性類 )的模疊 。一般來說,這是個無限類的非分離亞廷疊,很難在其上定義數值不變量。相反,有些開放子疊 參數化了這種相容層 ,具有施加的穩定性條件 ,即 穩定層。這些模疊具有更好的性質,比如被有限類型分離。唯一的困難在於,由於存在固定層的變形阻礙,它們可能具有不良的奇點。特別地
由於 是卡拉比-丘流形,所以塞爾對偶性意味着
其給出了維數為0的完美阻礙理論。特別地,這意味着相關的虛基類
的同調度為 ,然後可以定義DT不變量:
其取決於穩定性條件 和上同調類 。托馬斯證明,對光滑族 ,上述不變量也不變。最初研究者選擇的是吉賽克穩定性條件,近年來又根據其他穩定條件對其他DT不變量進行了研究,從而得出了「穿牆公式」(wall-crossing formula)。[5]
事實
推廣
另見
參考文獻
- ^ Bridgeland, Tom. Stability conditions on triangulated categories. 2006-02-08. arXiv:math/0212237 .
- ^ Maulik, D.; Nekrasov, N.; Okounkov, A.; Pandharipande, R. Gromov–Witten theory and Donaldson–Thomas theory, I. Compositio Mathematica. 2006, 142 (5): 1263–1285. S2CID 5760317. arXiv:math/0312059 . doi:10.1112/S0010437X06002302.
- ^ Szendroi, Balazs. Cohomological Donaldson-Thomas theory. 2016-04-27. arXiv:1503.07349 [math.AG].
- ^ Thomas, R. P. A holomorphic Casson invariant for Calabi-Yau 3-folds, and bundles on K3 fibrations. 2001-06-11. arXiv:math/9806111 .
- ^ Kontsevich, Maxim; Soibelman, Yan. Stability structures, motivic Donaldson-Thomas invariants and cluster transformations. 2008-11-16. arXiv:0811.2435 .
- Donaldson, Simon K.; Thomas, Richard P., Gauge theory in higher dimensions, Huggett, S. A.; Mason, L. J.; Tod, K. P.; Tsou, S. T.; Woodhouse, N. M. J. (編), The geometric universe (Oxford, 1996), Oxford University Press: 31–47, 1998, ISBN 978-0-19-850059-9, MR 1634503
- Kontsevich, Maxim, Donaldson–Thomas invariants (PDF), Mathematische Arbeitstagung, Bonn, 2007 [2023-11-16], (原始內容存檔 (PDF)於2023-11-16)