在抽象代數中,分式環或分式體是包含一個整環的最小體,典型的例子是有理數體之於整數環。此外分式環也可以推廣到一般的交換環,此時通常稱作全分式環。
分式環有時也被稱為商體,但此用語易與商環混淆。
構造
分式環是局部化的一個簡單特例。以下設 為一個整環,而 。
在集合 上定義下述等價關係 :
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等價類 可以想成「分式」 ,上述等價關係無非是推廣有理數的通分;藉此類比,在商集 上定義加法與乘法為:
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可驗證上述運算是明確定義的。此外還有環同態 ,定義為 ;這是一個單射。於是可定義分式環 ,再配上上述的加法與乘法運算。在實踐上,我們常逕將 裏的元素寫作分式 。
泛性質
例子
- 有理數體 是整數環 的分式環。
- 有理函數體是多項式環的分式環
- 代數數體是代數整數環的分式環。
- 在一個連通複流形上,亞純函數體是全純函數環的分式環。
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