微積分中,函數在某一點的全微分(英語:total derivative)是指該函數在該點附近關於其自變數的最佳線性近似。與偏微分不同,全微分反映了函數關於其所有自變數的線性近似,而非單個自變數。

全微分可視為單變數函數的微分在多變數函數上的推廣:單變數函數的全微分與其微分的定義相同;而多變數函數在某點的全微分為一線性映射,通常可用矩陣或向量表示。例如,對於二元函數 ,設 的某個鄰域內有定義, 為該鄰域內的任意一點,則該函數在點的變化量 可表示為

其中 皆為常數且僅與點 有關,而與無關,。若是當時的高階無窮小,則稱此函數 在點 微分,而矩陣(或向量) 即為函數 全微分也簡稱微分,記作

存在條件

全微分繼承了部分一元函數實函數(定義域值域實數的函數)的微分所具有的性質,但兩者間也存在差異。從全微分的定義出發,可以得出有關全微分存在條件的多個定理

充分條件

一個多元函數在某點的全微分存在的充分條件是:此函數在該點某鄰域內的各個偏導數存在且偏導函數在該點都連續,則此函數在該點可微。

對於二元函數,此定理可表述為:若二元函數 在點 的某鄰域內的偏導數  存在,且偏導函數  在點 都連續,則此函數在點 可微[1]。需要注意的是,此條件並非充要條件,存在偏導函數不連續但是多元函數可全微分的情況。如果不滿足這個充分條件,那麼一個多元函數能否全微分則必須由定義加以證明,即驗證 是否成立。

必要條件

一個多元函數在某點的全微分存在的必要條件是:若多元函數在某點可微,則此函數在該點必連續。

對於二元函數,此定理可表述為:若二元函數 在點 可微,則此函數在點 必連續。

全微分存在另一個必要條件是:若多元函數在某點可微,則此函數在該點的全微分可表示為各自變數的變化量與該自變數在該點的偏導數之的和。

對於二元函數,此定理可表述為:二元函數 在點 可微,則此函數在點 的全微分為

 

參見

  1. ^ 高等数学 下册(同济大学数学系编) 2014年7月第七版. 中國: 高等教育出版社. 2014: 73. ISBN 978-7-04-039662- 1 (中文).