倒數和發散

倒數和收斂的正整數集

加性組合英語Additive combinatorics數學中,倒數和發散正整數

是元素倒數級數和發散的集合,即滿足

下文簡稱「大集」。與之相反,倒數和收斂的集合,元素倒數和有限,下文簡稱「小集」。

如此區分集合的大小,見於蒙茲-薩斯定理英語Müntz–Szász theorem埃爾德什等差數列猜想

如無另外聲明,集合皆由正整數構成。

  • 有限集必為小集。
  • 全體正整數集 是大集。換言之,全體正整數的倒數和(稱為調和級數)發散。推而廣之,任何等差數列(即形如 的集合,其中 皆為正整數)皆是大集。
  • 全體平方數的集合是小集(其倒數和 )。立方數四次方數等亦然。更一般地,任何二次以上的正整數系數多項式取值的集合必為小集。
  •  的冪組成的集合 是小集。對任何等比數列(即形如 的集合,其中 皆為正整數,且 )也有同樣的結論。
  • 質數集已證明為大集(見素數的倒數之和)。相反,孿生質數集已證明為小集(見布朗常數),不過仍未知是否有無窮多對孿生質數。
  • 雖然質數集為大,質數真冪(即 ,其中  為質數)的集合為小。此性質常用於解析數論。一般地,完全 次方數的集合為小,甚至全體冪數(質因子皆高於一次的數)亦組成小集。
  • 任意b進制下,不含某數字的數的集合也是小集。例如十進制中,不含數字7的數集 是小集。此類集合的倒數和稱為肯普納級數
  • 若集合的上密度非零,則必為大。

性質

未解問題

艾狄胥提出一個著名問題,問不含任意長度等差數列的集合,是否必為小集。他為此懸賞3000美元,高於自己其他猜想英語Erdős conjectures,還開玩笑稱賞金違反最低工資法。[1]後來,懸賞升至5000美元。[2]截至2021年,問題仍然未解。

一般地,給定某集合的定義,很難分辨該集合是大是小。仍有許多集合的倒數和未知是否收斂。

參見

參考文獻

  1. ^ Carl Pomerance. Paul Erdős, Number Theorist Extraordinaire (Part of the article The Mathematics of Paul Erdős) [艾狄胥,出類拔萃的數論家(〈艾狄胥的數學〉之一節)] (PDF). Notices of the AMS. 1998-01 [2021-11-13]. (原始內容存檔 (PDF)於2021-11-13) (英語). 
  2. ^ Soifer, Alexander. The Mathematical Coloring Book: Mathematics of Coloring and the Colorful Life of its Creators [數學塗色書:塗色的數學、開創者的繽紛生活]. New York: Springer. 2008: 354. ISBN 978-0-387-74640-1 (英語).