五複合正四面體

幾何學中,五複合正四面體是一種由五個正四面體組合成的幾何圖形[3],屬於星形二十面體[4],也是唯一五種正複合體之一[5],其索引編號為UC5。溫尼爾在他的書中列出了許多星形多面體模型,其中也收錄了五複合正四面體,並將之給予編號W24[6]。其也收錄於哈羅德·斯科特·麥克唐納·考克斯特的書《五十九種二十面體》中,編號為47[7],但這個多面體最早是由埃德蒙·赫斯在1876年發現並描述的。

五複合正四面體
五複合正四面體
(點選檢視旋轉模型)
類別複合正多面體
星形二十面體
對偶多面體五複合正四面體
識別
名稱五複合正四面體
參考索引UC5, W24
數學表示法
考克斯特符號
英語Coxeter-Dynkin diagram
{5,3}[5{3,3}] {3,5}[2]
性質
5
20
30
頂點20
歐拉特徵數F=20, E=30, V=20 (χ=10)
組成與佈局
複合幾何體數量5
複合幾何體種類5個正四面體
面的種類20個正三角形
對稱性
對稱群手性英語Chirality (mathematics)二十面體群英語Icosahedral symmetry (I)
旋轉對稱群
英語Rotation_groups
手性英語Chirality (mathematics)四面體群英語Tetrahedral symmetry (T)
圖像
星狀圖英語Stellation_diagram 星狀英語Stellation 凸包
正二十面體 正十二面體

性質

五複合正四面體為五個正四面體組合成的形狀,由於沒有頂點共用的情況,因此其邊、面和頂點的數量為正四面體的5倍,共有20個面、30條邊和20個頂點

結構

五複合正四面體可以視為正十二面體刻面英語faceting後的多面體,在正十二面體凸包中每個正四面體定位在12個頂點中的其中4個頂點。也因此,正十二面體有相同的頂點佈局英語Vertex arrangement[8]

 
 
實體的五複合正四面體的旋轉模型

五複合正四面體可以透過將正四面體置於旋轉的二十面體群英語Icosahedral symmetry (I)構造

 

其也可以利用20組3個凹五邊形組合起來構造,如上圖。這種凹五邊形有三種邊長,其中有兩組等長邊,較長的等長邊長度為黃金比例倒數的根號2倍,為 ,較短的等長邊長度為黃金比例平方的倒數,為 ,另外一邊長度為黃金比例平方倒數的根號2倍, 。這種方法由溫尼爾提出[10]

這種形狀也正是每個正四面體露出來的部分。

 
球面鑲嵌
 
透明的模型
(旋轉模型)
 
五個互交叉的四面體

頂點座標

由於五複合正四面體可以看作是在正十二面體中嵌入正四面體,因此其頂點座標正十二面體相同:

(±1, ±1, ±1)、
(0, ±1/ϕ, ±ϕ)、
1/ϕ, ±ϕ, 0)、
ϕ, 0, ±1/ϕ)。

其中ϕ = 1 + 5/2黃金比例

作為星形多面體

五複合正四面體是一種星形二十面體,其星狀核為正二十面體、凸包為正十二面體,在杜·瓦爾記號英語Patrick du Val中以Ef1d表示。

星狀圖英語Stellation diagram 星形 星狀核 凸包
     
正二十面體
 
正十二面體

其他的五複合正四面體

相關多面體

五複合正四面體與其手性鏡像可組合出十複合正四面體,也就是說十複合正四面體可以看作是兩個五複合正四面體的複合體[11]

參見

參考文獻

  1. Wenninger, Magnus. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9. 
  1. ^ 1.0 1.1 H.S.M. Coxeter, Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8
  2. ^ Regular Polytopes (1973)[1], p.98
  3. ^ Wang, P. Portfolio : Renderings:. 加利福尼亞理工學院 計算機科學組. [2016-09-01]. (原始內容存檔於1999-09-13). Compound of Five Tetrahedra, Another type of linkage, only with five reflective tetrahedra. 
  4. ^ Maeder, R. E. "The Stellated Icosahedra."頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) Mathematica in Education 3, 5-11, 1994.
  5. ^ Regular Polytopes (1973)[1], 3.6 The five regular compounds, pp.47-50
  6. ^ Wenninger, Magnus英語Magnus J. Wenninger. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9. 
  7. ^ H·S·M·考克斯特. 五十九種二十面體. H. T. Flather, J. F. Petrie. Springer Science & Business Media. 2012. ISBN 9781461382164. 
  8. ^ Compound of Five Tetrahedra. 國立清華大學. [2017-02-28]. (原始內容存檔於2017-03-01). 
  9. ^ 9.0 9.1 Cundy, H. and Rollett, A. "Five Tetrahedra in a Dodecahedron." §3.10.8 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., 1989. ISBN 978-0906212202
  10. ^ advocated by Wenninger, 1989[9]pp. 44
  11. ^ Cundy and Rollett, 1989[9] pp. 139-141

外部連結