三角多項式

數學中,三角多項式是一類基於三角函數函數的總稱。三角多項式是可以表示成有限個正弦函數sin(nx) 和餘弦函數cos(nx) 的和的函數,其中的x 是變量,而n 是一個自然數。三角多項式中每一項的係數可以是實數或者複數。如果係數是複數的話,那麼這個三角多項式是一個傅里葉級數

三角多項式在許多數學分支,如數學分析數值分析中都有應用,例如在傅里葉分析中,三角多項式被用於傅里葉級數的表示,在三角插值法中,三角多項式被用於逼近周期性函數

三角多項式一般可以寫成

定義

一個函數T如果能夠寫成:

 

的形式,其中對於所有的 anbn都是複數,那麼就稱其為N階復三角多項式[1][2]。運用歐拉公式,這個函數可以寫為:

 

同樣地,如果對於所有的 anbn都是實數的話,那麼函數t

 

就被稱N階實三角多項式[2]

性質

 是關於 n 次多項式。

 

實際上,這種多項式稱為第一類切比雪夫多項式。同樣地, 也是關於  n 次多項式,稱為第二類切比雪夫多項式。

 

因此,一個三角多項式實際上也可以認為是關於三角函數  的多項式。

三角多項式都是周期為 的周期函數。同時,任何連續的周期函數都可以藉助於三角多項逼近到任意接近的程度。

參考來源

  1. ^ Rudin, Walter, Real and complex analysis 3rd, New York: McGraw-Hill, 1987, ISBN 978-0-07-054234-1, MR924157 
  2. ^ 2.0 2.1 Powell, Michael J. D., Approximation Theory and Methods, Cambridge University Press, 1981, ISBN 978-0-521-29514-7