Vizing定理
定理陳述
Vizing定理：任意(簡單, 無向)圖 G 的邊着色數 (edge chromatic number, χ′(G)) 等於 Δ(G) 或 Δ(G) + 1，其中 Δ(G) 指圖 G 中最大的度。
分類法
由Vizing定理可知χ′(G)=Δ(G) 或 Δ(G) + 1。若為前者，稱G為第一類圖(Class 1)，否則稱為第二類圖 (Class 2)。雖然只有兩類，但Holyer (1981)證明了，確定任意圖屬於哪一類是一個NP完全問題。
不過，對於特定類型的圖也有部分的解答。比如對於簡單平面圖，Vizing (1965)自己證明了，如果Δ(G)≥8 則是第一類的，但對於Δ(G)=2,3,4,5 的情況則有第二類圖存在：把正多面體的其中一邊截成兩條，即可得到 Δ(G)=3,4,5 的平面圖，他們是第二類的；而任何長度是奇數的圈(比如三角形)就是 Δ(G)=2 的第二類圖。對於剩下的兩種情況，Vizing提出了猜想：
- 平面圖Vizing猜想：
※任何簡單平面圖如果 Δ(G)≥6 (或7)，則是第一類的。(Vizing 1965)
在 Δ(G)≥7 的情形，Sanders & Zhao (2001) 給出了肯定的結果。因此只剩下 Δ(G)≥6 的情形尚待解決。
不過一般來講，"大多數"的圖都是第一類的。[來源請求]
相關
參考資料
- Planet math
- Weisstein, Eric W. "Vizing's Theorem." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
- Holyer, Ian, The NP-completeness of edge-coloring, SIAM Journal on Computing, 1981, 10: 718–720.
- Sanders, Daniel P.; Zhao, Yue, Planar graphs of maximum degree seven are class I, Journal of Combinatorial Theory, Series B, 2001, 83 (2): 201–212.
- Vizing, V. G., Critical graphs with given chromatic class, Metody Diskret. Analiz., 1965, 5: 9–17. (In Russian.)