麥克斯韋 最初的推導假設了三個方向上的表現都相同，但後來在波茲曼 的一個推導中利用分子運動論 去掉了這個假設。現在，麥克斯韋-波茲曼分佈可以輕易地從能量的波茲曼分佈 推出：
N
i
N
=
g
i
exp
(
−
E
i
/
k
T
)
∑
j
g
j
exp
(
−
E
j
/
k
T
)
(
1
)
{\displaystyle {\frac {N_{i}}{N}}={\frac {g_{i}\exp \left(-E_{i}/kT\right)}{\sum _{j}^{}g_{j}\,{\exp \left(-E_{j}/kT\right)}}}\qquad \qquad (1)}
其中N i T 時，處於狀態 i 的粒子數目，具有能量 E i gi ，N 是系統中的總粒子數目，k 是波茲曼常數 。（注意有時在上面的方程式中不寫出簡併度g i i 將指定了一個單態，而不是具有相同能量E i g i 配分函數 。
下列所述的推導，與詹姆斯·克拉克·麥克斯韋 描述的推導和後來由路德維希·波茲曼 描述的具有較少假設的推導都有很大不同。它與波茲曼在1877年的探討比較接近。
對於「理想氣體」（由基態的非相互作用原子所組成）的情況，所有能量都是動能的形式。宏觀粒子的動能與動量的關係為：
E
=
p
2
2
m
(
2
)
{\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}\qquad \qquad (2)}
其中p 2 是動量向量p = [p x p y p z
N
i
N
=
1
Z
exp
[
−
p
x
2
+
p
y
2
+
p
z
2
2
m
k
T
]
(
3
)
{\displaystyle {\frac {N_{i}}{N}}={\frac {1}{Z}}\exp \left[-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mkT}}\right]\qquad \qquad (3)}
其中Z 是配分函數 ，對應於方程式1中的分母。在這裏，m 是氣體的分子質量，T 是熱力學溫度，k 是波茲曼常數 。這個N i N 的分佈與找到具有這些動量分量值的分子的機率密度函數 f p 正比 ，因此：
f
p
(
p
x
,
p
y
,
p
z
)
=
c
Z
exp
[
−
p
x
2
+
p
y
2
+
p
z
2
2
m
k
T
]
.
(
4
)
{\displaystyle f_{\mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})={\frac {c}{Z}}\exp \left[-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mkT}}\right].\qquad \qquad (4)}
歸一化常數 c 可以通過認識到分子具有任何 動量的機率必須為1來決定。因此，方程式4在所有p x p y p z
可以證明：
c
=
Z
(
2
π
m
k
T
)
3
/
2
.
(
5
)
{\displaystyle c={\frac {Z}{(2\pi mkT)^{3/2}}}.\qquad \qquad (5)}
把方程式5代入方程式4，得出：
f
p
(
p
x
,
p
y
,
p
z
)
=
(
1
2
π
m
k
T
)
3
/
2
exp
[
−
p
x
2
+
p
y
2
+
p
z
2
2
m
k
T
]
.
(
6
)
{\displaystyle f_{\mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})=\left({\frac {1}{2\pi mkT}}\right)^{3/2}\exp \left[-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mkT}}\right].\qquad \qquad (6)}
可以看出，這個分佈是三個獨立、呈正態分佈 的變量
p
x
{\displaystyle p_{x}}
p
y
{\displaystyle p_{y}}
p
z
{\displaystyle p_{z}}
m
k
T
{\displaystyle mkT}
a
=
m
k
T
{\displaystyle a={\sqrt {mkT}}}
利用p ² = 2mE ，以及動量的大小的分佈函數（參見以下速率分佈的章節），我們便得出能量的分佈：
f
E
d
E
=
f
p
(
d
p
d
E
)
d
E
=
2
E
π
(
k
T
)
3
exp
[
−
E
k
T
]
d
E
.
(
7
)
{\displaystyle f_{E}\,dE=f_{p}\left({\frac {dp}{dE}}\right)\,dE=2{\sqrt {\frac {E}{\pi (kT)^{3}}}}~\exp \left[{\frac {-E}{kT}}\right]\,dE.\qquad \qquad (7)}
由於能量與三個呈正態分佈的動量分量的平方和成正比，因此這個分佈是具有三個自由度的卡方分佈 ：
f
E
(
E
)
d
E
=
χ
2
(
x
;
3
)
d
x
{\displaystyle f_{E}(E)\,dE=\chi ^{2}(x;3)\,dx}
其中
x
=
2
E
k
T
.
{\displaystyle x={\frac {2E}{kT}}.\,}
麥克斯韋-波茲曼分佈還可以通過把氣體視為量子氣體 來獲得。
認識到速度的機率密度函數f v
f
v
d
3
v
=
f
p
(
d
p
d
v
)
3
d
3
v
{\displaystyle f_{\mathbf {v} }d^{3}v=f_{\mathbf {p} }\left({\frac {dp}{dv}}\right)^{3}d^{3}v}
並利用p = mv ，我們便得到：
f
v
(
v
x
,
v
y
,
v
z
)
=
(
m
2
π
k
T
)
3
/
2
exp
[
−
m
(
v
x
2
+
v
y
2
+
v
z
2
)
2
k
T
]
,
{\displaystyle f_{\mathbf {v} }(v_{x},v_{y},v_{z})=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3/2}\exp \left[-{\frac {m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})}{2kT}}\right],\qquad \qquad }
這就是麥克斯韋-波茲曼速度分佈。在速度相空間 （v x v y v z dv x dv y dv z v = [v x v y v z
f
v
(
v
x
,
v
y
,
v
z
)
d
v
x
d
v
y
d
v
z
.
{\displaystyle f_{\mathbf {v} }\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)\,dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}.}
像動量一樣，這個分佈是三個獨立、呈正態分佈 的變量
v
x
{\displaystyle v_{x}}
v
y
{\displaystyle v_{y}}
v
z
{\displaystyle v_{z}}
k
T
m
{\displaystyle {\frac {kT}{m}}}
v x v y v z
f
v
(
v
x
,
v
y
,
v
z
)
=
f
v
(
v
x
)
f
v
(
v
y
)
f
v
(
v
z
)
{\displaystyle f_{v}\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)=f_{v}(v_{x})f_{v}(v_{y})f_{v}(v_{z})}
其中一個方向上的分佈為：
f
v
(
v
i
)
=
m
2
π
k
T
exp
[
−
m
v
i
2
2
k
T
]
.
{\displaystyle f_{v}(v_{i})={\sqrt {\frac {m}{2\pi kT}}}\exp \left[{\frac {-mv_{i}^{2}}{2kT}}\right].\qquad \qquad }
這個分佈具有正態分佈 的形式，其方差為
k
T
m
{\displaystyle {\frac {kT}{m}}}
一些惰性氣體 在298.15 K（25 °C）的溫度下的速率分佈函數。y軸的單位為s/m，因此任何一段曲線下的面積（它表示速度處於那個範圍的機率）都是無因次的。 通常，我們更感興趣於分子的速率，而不是它們的速度分量。麥克斯韋-波茲曼速率分佈為：
f
(
v
)
=
2
π
(
m
k
T
)
3
v
2
exp
(
−
m
v
2
2
k
T
)
{\displaystyle f(v)={\sqrt {{\frac {2}{\pi }}\left({\frac {m}{kT}}\right)^{3}}}\,v^{2}\exp \left({\frac {-mv^{2}}{2kT}}\right)}
其中速率v 定義為：
v
=
v
x
2
+
v
y
2
+
v
z
2
{\displaystyle v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}
注意：在這個方程式中，f(v)的單位是機率每速率，或僅僅是速率的倒數，如右圖那樣。
由於速率是三個獨立、呈正態分佈的速度分量的平方之和的平方根，因此這個分佈是麥克斯韋-波茲曼分佈。
我們通常更感興趣於粒子的平均速率，而不是它們的實際分佈。平均速率、最概然速率（眾數），以及均方根速率可以從麥克斯韋-波茲曼分佈的性質獲得。
雖然以上的方程式給出了速率的分佈，或具有特定速率的分子的比例，我們通常更感興趣於粒子的平均速率，而不是它們的實際分佈。
最概然速率v p f (v )的最大值或眾數 。要把它求出來，我們計算df /dv ，依極值法，將其設為零，然後對v 求解：
d
f
(
v
)
d
v
=
0
{\displaystyle {\frac {df(v)}{dv}}=0}
得出：
v
p
=
2
k
T
m
=
2
R
T
M
{\displaystyle v_{p}={\sqrt {\frac {2kT}{m}}}={\sqrt {\frac {2RT}{M}}}}
其中R 是氣體常數 ，M = NA m 是物質的摩爾質量 。
對於室溫 （300K ）下的氮氣（空氣 的主要成分），可得
v
p
=
422
{\displaystyle v_{p}=422}
平均速率是速率分佈的數學期望 ：
⟨
v
⟩
=
∫
0
∞
v
f
(
v
)
d
v
=
8
k
T
π
m
=
8
R
T
π
M
{\displaystyle \langle v\rangle =\int _{0}^{\infty }v\,f(v)\,dv={\sqrt {\frac {8kT}{\pi m}}}={\sqrt {\frac {8RT}{\pi M}}}}
近似得：
⟨
v
⟩
=
8
R
T
π
M
≈
1.6
K
b
T
m
≈
1.6
R
T
M
{\displaystyle \langle v\rangle ={\sqrt {\frac {8RT}{\pi M}}}\approx 1.6{\sqrt {\frac {K_{b}T}{m}}}\approx 1.6{\sqrt {\frac {RT}{M}}}}
方均根 速率v rms 是速率的平方的平均值的平方根：
v
r
m
s
=
(
∫
0
∞
v
2
f
(
v
)
d
v
)
1
/
2
=
3
k
T
m
=
3
R
T
M
{\displaystyle v_{\mathrm {rms} }=\left(\int _{0}^{\infty }v^{2}\,f(v)\,dv\right)^{1/2}={\sqrt {\frac {3kT}{m}}}={\sqrt {\frac {3RT}{M}}}}
它們具有以下的關係：
v
p
:
v
a
v
e
r
a
g
e
:
v
r
m
s
≈
1
:
1.128
:
1.224
{\displaystyle v_{p}:v_{average}:v_{\mathrm {rms} }\approx 1:1.128:1.224}
[ 1]
麥克斯韋-波茲曼分佈也可直接由氣體速率均向性以及分離變數的假設以微分方程式計算得到指數函數之形式，微分方程式解的未定數項則由粒子總數以及方均根速率和波茲曼常數的氣體動力論關係兩者聯立得解.詳見外部連結.
電子氣體在不同溫度下的Maxwell-Juttner速率分佈 (相對論麥克斯韋分佈) 當氣體越來越熱時，kT 趨於或超過mc2 ，這個相對論麥克斯韋氣體的速率分佈由Maxwell-Juttner分佈給出：[ 2]
f
(
γ
)
=
γ
2
β
θ
K
2
(
1
/
θ
)
e
x
p
(
−
γ
θ
)
(
11
)
{\displaystyle f(\gamma )={\frac {\gamma ^{2}\beta }{\theta K_{2}(1/\theta )}}\mathrm {exp} \left(-{\frac {\gamma }{\theta }}\right)\qquad (11)}
其中
β
=
v
c
,
{\displaystyle \beta ={\frac {v}{c}},}
γ
=
1
1
−
β
2
,
{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\beta ^{2}}}}},}
θ
=
k
T
m
c
2
,
{\displaystyle \theta ={\frac {kT}{mc^{2}}},}
K
2
{\displaystyle K_{2}}
貝索函數 。
![{\displaystyle {\frac {N_{i}}{N}}={\frac {1}{Z}}\exp \left[-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mkT}}\right]\qquad \qquad (3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbfec7dda96a9efc216747994f14901b0efc11db)
![{\displaystyle f_{\mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})={\frac {c}{Z}}\exp \left[-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mkT}}\right].\qquad \qquad (4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39a77c1fbe0e0f7199932ffff038baaba8b21a77)
![{\displaystyle f_{\mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})=\left({\frac {1}{2\pi mkT}}\right)^{3/2}\exp \left[-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mkT}}\right].\qquad \qquad (6)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bb5368683d11272aa07996ac3b990c73b22648e)
![{\displaystyle f_{E}\,dE=f_{p}\left({\frac {dp}{dE}}\right)\,dE=2{\sqrt {\frac {E}{\pi (kT)^{3}}}}~\exp \left[{\frac {-E}{kT}}\right]\,dE.\qquad \qquad (7)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad123ba6085621329737407abb720df6c8f0dea5)
![{\displaystyle f_{\mathbf {v} }(v_{x},v_{y},v_{z})=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3/2}\exp \left[-{\frac {m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})}{2kT}}\right],\qquad \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a89582f25c05ffba56e94442596c5399b86502e)
![{\displaystyle f_{v}(v_{i})={\sqrt {\frac {m}{2\pi kT}}}\exp \left[{\frac {-mv_{i}^{2}}{2kT}}\right].\qquad \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7a2764bfa37198cf90080b34e353736d59c8097)
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