集合域

此條目介紹的是集合代數中的代數。關於數學分支，請見「代數」。

在集合代數中，域，或者代數，是指一種有序對$\,(\Omega ,{\mathcal {F}})\,$，其中 $\Omega$ 是集合，$\,{\mathcal {F}}\,$ 是由集合 $\Omega$ 的一些子集構成的一種集類，它滿足 $\Omega$ 自身是它的元素，且對加法（有限並）封閉和乘法（有限交）及逆（余集）運算封閉。在這樣的集類中，空集類似於 0，因為和它相加（並）的任何集合結果還是自身；全集相當於 1，因為和它相乘（交）的任何集合還是自身。

也可把滿足上述條件的集類$\,{\mathcal {F}}\,$稱為域或代數

定義

非空集類 ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega )$ 若滿足以下條件：

1. $\Omega \in {\mathcal {F}}$；
2. $\forall A,B\in {\mathcal {F}},A\cup B\in {\mathcal {F}},A\cap B\in {\mathcal {F}}$(對有限並、有限交封閉)；
3. $\forall A\in {\mathcal {F}},A^{c}\in {\mathcal {F}}$(對補集運算封閉).

則稱其為 $\Omega$ 上的一個代數。

或者可以把代數定義為有元素 $\Omega$ 和空集、對有限交（或有限並）和余集運算封閉的 $\Omega$ 的子集類，這兩者是等價的。

性質

無論從哪個定義出發，利用德摩根定律和集合交與並運算的分配律，都可列出代數具有如下性質：空集和全集是它的元素、對有限並和有限交封閉、對補集運算封閉、對差集運算封閉。

一個代數也一定是一個環。用可列互斥併集封閉一個代數，將得到一個σ-代數，而後者是數學嚴格化測度論與概率論非常重要的一種集類。

其中用可列互斥併集封閉一個代數 ${\mathcal {F}}$ 得到的新集類定義是：

${\mathcal {F}}_{\sum \!f}:=\left\{A|A=\sum _{i=1}^{n}A_{i},A_{i}\in {\mathcal {F}},i\neq j\Rightarrow A_{i}\cap A_{j}=\emptyset ,i,j=1,2,\cdots \right\}$

其他定義

• $\,{\mathcal {F}}\,$ 是 $\Omega$ 的冪集布林代數的子代數。在明確上下文時，亦稱 F 為集合域。
• $\Omega$ 的元素稱為點，而 $\,{\mathcal {F}}\,$ 的元素稱為複形。

集合域在布林代數的表示理論中扮演中心角色。所有布林代數都可以被表示為集合域。

參見

• 內部代數
• 亞歷山德羅夫拓撲
• Stone布林代數表示定理
• 史東對偶性
• 布林環

參考

• Goldblatt, R., Algebraic Polymodal Logic: A Survey, Logic Journal of the IGPL, Volume 8, Issue 4, p. 393-450, July 2000
• Goldblatt, R., Varieties of complex algebras, Annals of Pure and Applied Logic, 44, p. 173-242, 1989
• Johnstone, Peter T. Stone spaces 3rd edition. Cambridge: Cambridge University Press. 1982. ISBN 0-521-33779-8.  引文格式1維護：冗餘文本 (link)
• Naturman, C.A., Interior Algebras and Topology, Ph.D. thesis, University of Cape Town Department of Mathematics, 1991