量子態

量子系統的狀態

量子力學裏,量子態(英語:quantum state)指的是量子系統的狀態。態向量可以用來抽象地表示量子態。[2]:93-96採用狄拉克標記,態向量表示為括量;其中,在符號內部的希臘字母可以是任何符號,字母,數字,或單字。例如,在計算氫原子能譜時,能級與主量子數有關,所以,每個量子態的態向量可以表示為

設定斯特恩-革拉赫實驗儀器的磁場方向為z-軸,入射的銀原子束可以被分裂成兩道銀原子束,每一道銀原子束代表一種量子態,上旋或下旋[1]:1-4

一般而言,量子態可以是純態混合態。上述案例是純態。混合態是由很多純態組成的機率混合。不同的組合可能會組成同樣的混合態。當量子態是混合態時,可以用密度矩陣做數學描述,這密度矩陣實際給出的是機率,不是密度。純態也可以用密度矩陣表示。

哥本哈根詮釋以操作定義的方法對量子態做定義:量子態可以從一系列製備程序來辨認,即這程序所製成的量子系統擁有這量子態。[3]:15-16例如,使用z-軸方向的斯特恩-革拉赫實驗儀器,如右圖所示,可以將入射的銀原子束,依照自旋的z-分量分裂成兩道,一道的為上旋,量子態為,另一道的為下旋,量子態為,這樣,可以製備成量子態為的銀原子束,或量子態為的銀原子束。[1]:1-4銀原子自旋態向量存在於二維希爾伯特空間。對於這純態案例,相關的態向量是二維複值向量,長度為1:

在測量一個量子系統之前,量子理論通常只給出測量結果的機率分佈,這機率分佈的形式完全由量子態、相關的可觀察量來決定。對於純態或混合態,都可以從密度矩陣計算出這機率分佈。

另外,還有很多種不同的量子力學詮釋。根據實在論詮釋,一個量子系統的量子態完整描述了這個量子系統。量子態囊括了所有關於這系統的描述。實證詮釋闡明,量子態只與對於量子系統做觀察所得到的實驗數據有關。[3]:15按照系綜詮釋,量子態代表一個系綜的在同樣狀況下製備而成的量子系統,它不適用於單獨量子系統。[3]:220

概述

 
在不同量子態氫原子的電子機率密度

經典力學的狀態

設想在某經典系統裏,有一個粒子移動於一維空間,在時間 ,粒子的位置  動量  。這些初始條件設定了這系統在時間 的狀態 。經典力學具有決定性,若知道粒子的初始條件與作用於粒子的外力,則可決定粒子的運動行為。

在實驗方面,製備經典系統在時間 的狀態 。稍後,在時間 ,若想知道這系統的物理狀態 ,可以測量這粒子的運動參數,即位置 與動量 。其它物理量,像加速度動能等等,都是這兩個物理量的函數

在理論方面,假設經典系統在 的狀態是 ,則應用牛頓運動定律,即可計算出這系統在任何時間 的可觀察量數值。這些數值應該符合實驗測量的結果。標記這些數值為  。例如,假設粒子以等速移動,則

 
 

其中, 是粒子質量。

量子力學的量子態

實驗的過程可以按照先後順序細分為製備與測量兩個步驟。在統計實驗(statistical experiment)裏,雖然以同樣的方法製備多個物理系統,然後以同樣的方法進行測量,仍舊不能可靠地獲得出同樣的結果,但是,假若經過很多次重複地製備與測量,則會發覺,同樣結果的出現頻率會收斂至某固定值。量子力學也具有類似特性,雖然每一次測量能夠很準確地獲得粒子運動地數據,但不能準確預測對於可觀察量做單次測量而獲得的結果,只能夠給出各種可能獲得的結果與獲得這結果的機率分佈,這是因為製備步驟必須遵守不確定性原理[4]:44-45

在量子系統裏,量子態可以從一系列製備程序來辨認,即這程序所製成的量子系統擁有這量子態。例如,使用z-軸方向的斯特恩-革拉赫實驗儀器,可以將入射的銀原子束,依照自旋的z-分量 分裂成兩道,一道的 為上旋,量子態為  ,另一道的 為下旋,量子態為  。又例如,假若等待足夠長久時間,就可以使得量子系統衰變至基態,前提是從激發態只能朝着無窮遠發射出能量,永遠不會反射回來。這樣,就可以製備出基態。[4]:206-209再照射適當頻率的激光,則可製備出指定的激發態。

在實驗方面,量子力學顯露出一種內稟統計行為。同樣的一個實驗重複地做很多次,每次實驗的測量結果通常不會一樣,只有從很多次的實驗結果計算出來的統計平均值,才是可複製的數值。假設,在每次實驗裏,在時間 ,量子系統的量子態為 。稍後,在時間 ,測量這粒子在各個量子系統的可觀察量  ,則能獲得在時間 這些可觀察量的統計平均值。特別注意,對於這兩種可觀察量並不是一起進行測量,而是獨立分開進行測量。更詳細地說,重複地做很多次同樣的實驗,測量可觀察量 。由於這可觀察量是隨機變量,所以無法可靠地複製同樣結果。但是,假若重複次數足夠多(概念而言,無窮多),則能獲得在時間 這可觀察量 的統計平均值。類似地,重複地做很多次同樣的實驗,測量可觀察量 ,也能獲得在時間 這可觀察量 的統計平均值。

在理論方面,假設量子系統在 的量子態是 ,應用埃倫費斯特定理,可以計算出可觀察量在任何時間 期望值。這期望值應該完全符合實驗獲得的統計平均值。標記這些期望值為  。假設沒有任何外力作用於自由移動的粒子,則

 
 

位置的期望值與動量的期望值表現出類似經典力學的運動行為。在量子力學裏,量子態可以預測所有測量可觀察量的實驗統計結果。

薛定諤繪景與海森堡繪景

量子系統的每一種可觀察量都有其對應的量子算符。將這量子算符作用於量子態,可以詮釋為測量其量子系統的可觀察量。在前一節量子力學論述裏,量子算符  被設定為與時間有關,而量子態則在初始時間 就被固定為 ,與時間無關。這種理論方法稱為海森堡繪景。另一種稱為薛定諤繪景的理論方法設定量子算符與時間無關,又設定量子態與時間有關。在概念方面或在數學方面,這兩種繪景等價,推導出的結果一樣。大多數初級量子力學教科書採用的是薛定諤繪景,通過生動活潑的量子態,學生可以迅速地瞭解量子系統如何隨着時間演變。海森堡繪景比較適用於研究一些像對稱性守恆定律的基礎論題領域,例如量子場論,或者研究超大自由度系統的學術,例如統計力學[5]

量子力學形式論

量子物理通常使用線性代數來做數學表述。每一種量子系統都有其對應的希爾伯特空間,其量子態都可以用對應的希爾伯特空間裏的向量來表現,這向量稱為態向量。假若,某態向量是另外一個態向量的純量倍數,則這兩個態向量都對應於同樣的量子態。因此,態向量的範數不具有物理意義,只有方向具有物理意義。

假若將態向量歸一化,所有態向量的範數都等於1,則所有態向量的集合是希爾伯特空間的單位球。假若,兩個歸一化態向量的唯一不同之處是它們的相位因子,則這兩個態向量代表同樣的量子態。

狄拉克標記

在量子力學裏,數學運算時常用到線性算符內積對偶空間厄米共軛等概念。為了讓運算更加簡易、更加抽象,為了讓使用者不需要選擇表現空間,保羅·狄拉克發明了狄拉克標記。這種標記法能夠精準地表示各種各樣的量子態與其相關運算,簡略表述如下:

  • 向量的標記形式為 ;其中 可以是任何符號,字母,數字,或單字。這與一般的數學標記形式顯然地不同;通常,向量是以粗體字母,或者在上方加了一個矢號的字母來標記。
  • 稱向量為「括量」。
  • 對於每一個括量 ,都獨特地存在一個對應的包量 ,包量與括量指的是同一個量子態。在數學裏,包量與括量分別是彼此的厄米共軛,包量屬於另外一個希爾伯特空間,稱為對偶空間。假設括量 的維度為有限值,則可以將括量寫為豎排,包量寫為橫排;取括量的厄米共軛(即取轉置運算加上共軛複數運算),就可以得到包量。
  • 包量 與括量 的內積,可以寫為 。這內積的物理意義為量子態 處於量子態 機率幅[1]:50

量子態的測量

量子理論只能從量子態計算出可觀察量的機率分佈,因此只能預測可觀察量的機率分佈,除了一些特別案例之外,不能準確預測(機率小於1)對可觀察量做測量獲得的數值,這反映出經典物理與量子物理之間的重要差異,在經典力學裏,測量的結果本質上是決定性的,而不是機率性的。儘管如此,在量子力學裏,對於任意可觀察量,必定存在一組本徵態。假設量子系統的量子態是其中任意本徵態,則測量這量子系統的可觀察量得到的數值必定等於其對應的本徵值,量子力學可以準確預測這本徵值

反過來說,假設給定了量子系統所有可觀察量的機率分佈,則可決定量子系統的量子態。[4]:46-47但是,決定量子態,並不一定需要所有可觀察量的機率分佈;大多數時候,只需要給定某些可觀察量的機率分佈,就可以決定量子態,其它可觀察量的機率分佈,可以從量子態計算出來。

假設,某量子系統的可觀察量標記為 ,其對應的量子算符 ,可能有很多不同的本徵值 與對應的本徵態 ,這些本徵態 ,形成了具有正交歸一性基底[2]:96-99

 

其中, 克羅內克函數

描述這量子系統的量子態 ,可以用這基底表示為

 

其中, 是複系數,是量子態 處於量子態 機率幅[1]:50

重複地做很多次同樣的實驗,在每次實驗裏,量子系統的量子態都設定為 ,則對於每一個量子系統的可觀察量 做測量,可能得到的結果是各種本徵態 的本徵值 ,獲得這些不同結果的次數具有機率性,可以表達為機率分佈,結果為 的機率是 

假設測量的結果是本徵值 ,則可以推斷測量後的量子態是本徵態 。假若立刻再測量可觀察量 ,由於量子態仍舊是本徵態 ,所得到的測量值是本徵值 的機率為1,量子態 是「確定態」。

設想另一種可觀察量 ,其對應的算符 與算符 對易關係

 

稱這兩種可觀察量為不相容可觀察量。假若立刻再對本徵態 測量可觀察量 ,則又會得到統計性的答案。

單粒子系統的基底量子態

離散案例

假設,某量子系統的可觀察量標記為 ,其對應的量子算符 ,可能有很多不同的本徵值 與對應的本徵態 ,這些本徵態 ,形成了具有正交歸一性基底[2]:96-99描述這量子系統的量子態 ,可以用這基底的本徵態表示為

 

其中, 是複系數,是量子態 處於量子態 機率幅[1]:50

   的內積:

 

因此, 可以表示為

 

定義投影算符 

 

投影算符 作用於量子態,投射出平行於 的部分:

 

量子態 是所有投影部分的總和:

 

由於量子態 可以是任意量子態,因此,基底量子態具有閉包性,或完備性

 

其中,在公式最右邊的 代表單位算符。

由於這基底滿足正交歸一性

 

連續案例

位置 是一種連續的可觀察量,具有連續的本徵值譜:

 

其中, 是對應於可觀察量 的算符, 是本徵值為 的連續本徵態。

對於這連續本徵態 所組成的基底,必須將前一節提到的離散和,加以修改為積分:

 

又必須將克羅內克函數改變為狄拉克δ函數

 

由於量子態 可以是任意量子態,因此,連續基底量子態具有閉包性,或完備性

 

由於這基底滿足正交歸一性

 

從這方程式,可以推論 是粒子處於位置  之間的機率。

內積 就是波動力學波函數 

 

態疊加原理

 
雙縫實驗草圖,從光源 散發出來的單色光,照射在一座有兩條狹縫  的不透明擋牆 。在擋牆的後面,設立了一個照相底片或某種偵測屏障 ,用來紀錄到達 的任何位置 光波數據。最右邊黑白相間的條紋,顯示出光波在偵測屏障 的干涉圖樣

假設某量子系統的量子態可能是  這兩個不同的歸一化量子態,則這量子系統也可能處於它們線性疊加而成的量子態 (可能尚未歸一化)。假設 為實數,則雖然量子態  對應於同樣的量子態,他們並無法互相替換。例如,  是兩個不同的量子態。但是,  對應於同一個量子態。因此可以這樣說,整體的相位因子並不具有物理意義,但相對的相位因子具有重要的物理意義。

例如,在雙縫實驗裏,光子的量子態是兩個不同量子態的疊加。其中一個量子態是通過狹縫 。另外一個量子態是通過狹縫 。光子抵達偵測屏障的位置 ,這位置離開兩條狹縫的距離之差值 ,與兩個量子態的相對相位有關。由於這相對相位,在偵測屏障的某些位置,會造成相長干涉,在另外一些位置,會造成破壞性干涉。

再舉一個例子,拉比振動,可以顯示出相對相位在量子態疊加中的重要性。這是一個雙態系統,兩個本徵態的本徵能級不一樣。那麼,因為態疊加的相對相位隨着時間而改變,疊加後的量子態會反復不停地振動於兩個本徵態。

參閱

註釋

參考文獻

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim, Modern Quantum Mechanics 2nd, Addison-Wesley, 2010, ISBN 978-0805382914 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-111892-7 
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 Laloe, Franck, Do We Really Understand Quantum Mechanics, Cambridge University Press, 2012, ISBN 978-1-107-02501-1 
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 Ballentine, Leslie. Quantum Mechanics: A Modern Development 2nd, illustrated, reprint. World Scientific. 1998. ISBN 9789810241056. 
  5. ^ Gottfried, Kurt; Yan, Tung-Mow. Quantum Mechanics: Fundamentals 2nd, illustrated. Springer. 2003: pp. 65. ISBN 9780387955766.