速降函數空間

速降函數空間（Schwartz space）是數學中一類函數的總稱，也稱為施瓦茨空間，指的是當X值趨向於無窮大時，函數值f(X)趨近0的速度「足夠快」的函數。速降函數空間的一個重要性質是傅里葉變換對於這個空間是一個自同構，也就是說，速降函數進行傅里葉變換之後仍然會是速降函數。這個性質使得可以對${\mathcal {S}}$的對偶空間中的元素，也就是緩增廣義函數，來定義其傅里葉變換。速降函數空間的別稱「施瓦茨空間」得名於法國數學家洛朗·施瓦茨，速降函數空間裏的函數也被稱為施瓦茨函數。

二維的高斯函數是速降函數的一個例子。

定義

歐幾里得空間Rⁿ 上的速降函數空間${\mathcal {S}}$是滿足以下條件的函數的集合：

${\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)=\{f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\mid \|f\|_{\alpha ,\beta }<\infty \,\forall \,\alpha ,\beta \},$

其中 α, β 是多重指標，C^∞(Rⁿ) 是所有從Rⁿ射到C 的光滑函數。

$\|f\|_{\alpha ,\beta }=\sup _{x\in \mathbf {R} ^{n}}|x^{\alpha }D^{\beta }f(x)|.$

其中$\sup$ 符號指函數的最小上界，$D^{\beta }$指多重指標下的導數。簡單來說，速降函數是指當$|x|\to \infty$ 時趨近於零的速度比所有的多項式的倒數都快，並且任意階的導數都有這種性質的函數。

例子

• 設 i 是一個多重指標，a 是一個正實數，那麼

$x^{i}e^{-ax^{2}}\in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$

比如，高斯函數$f(x)=e^{-x^{2}}$就是一個速降函數。這是因為對任意的多重指標 α, β

$\|f\|_{\alpha ,\beta }=\sup _{x\in \mathbf {R} ^{n}}|x^{\alpha }D^{\beta }f(x)|\leq x^{\alpha +\beta }2^{\|\beta \|}e^{-x^{2}}<\infty$。

• 任意的緊支撐光滑函數f 都屬於${\mathcal {S}}$，這是因為f 的所有的導函數乘以任意的$x^{\alpha }$都是緊支撐的，所以必然有界，也就是說(x^α D^β) f 在Rⁿ 上有最大值。

• 如果一個光滑函數僅僅滿足自身乘以任意的$x^{\alpha }$都有界的話，這個函數不一定是速降函數。導函數也具有同樣的性質這一點是很重要的。例如函數

$f(x)=e^{-x}\cdot e^{-ie^{2x}}$

f自身乘以任何的$x^{\alpha }$都有界，但它的導數：

$f'(x)=-e^{-x}\cdot e^{ie^{2x}}-2ie^{-x}ie^{2x}\cdot e^{ie^{2x}}=-f(x)+2e^{x}\cdot e^{ie^{2x}}$

而$2e^{x}\cdot e^{ie^{2x}}$是一個指數發散的函數，甚至不趨於零，當然不是速降函數。從而$f'(x)$也不是速降函數。

性質

• ${\mathcal {S}}$ 是複數的弗雷歇空間。

• 如果$f$ 是速降函數，那麼$\|f\|_{\alpha ,\beta }$在$|x|\rightarrow \infty$ 時一定趨於0。

• 速降函數空間${\mathcal {S}}$ 中的元素乘以多項式之後仍然屬於${\mathcal {S}}$。甚至只要函數$u$ 在$|x|\rightarrow \infty$ 時是某個多項式的等價無窮大，那麼${\mathcal {S}}$ 中的元素乘以$u$ 後仍在${\mathcal {S}}$ 中。

• 根據微分的萊布尼茲法則，速降函數空間${\mathcal {S}}$ 在函數乘法運算下封閉。也就是說，如果兩個函數$f,g\in {\mathcal {S}}$，那麼有 $fg\in {\mathcal {S}}$。這裏的乘積是逐點乘積。

• 對所有的1 ≤ p ≤ ∞，都有${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\subset L^{p}(\mathbb {R} ^{n}),$，其中L^p(Rⁿ) 是所謂的Lp空間，也就是說所有在Rⁿ 上p 次可積的函數的空間。

• 傅里葉變換是 ${\mathcal {S}}\to {\mathcal {S}}$ 的一個線性自同構。

參考來源

• L. Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators I, (Distribution theory and Fourier Analysis), 2nd ed, Springer-Verlag, 1990.
• M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics: Functional Analysis I, Revised and enlarged edition, Academic Press, 1980.