維格納半圓分佈

維格納半圓分佈是一以物理學家尤金·維格納(Eugene Wigner)命名的機率分佈。其機率密度函數(Probability Distribution Function)係一存在[-R,R]區間內的半圓形分佈、以(0,0)為中心點並經過適當規範化(Normalized)的結果,因而其實其函數圖型是一半橢圓形。

維格納半圓分佈
機率密度函數
Plot of the Wigner semicircle PDF
累積分佈函數
Plot of the Wigner semicircle CDF
參數 radius (real)
值域
機率密度函數
累積分佈函數
for
期望值
中位數
眾數
變異數
偏度
峰度
動差母函數
特徵函數

for −RxR, and f(x) = 0 if R < |x|.

此機率分佈可做為一大小接近無限的隨機對稱矩陣,其特徵值(Eigenvalues) 的分佈限制範圍。

它是一個經過縮放的Β分佈(Beta Distribution)。精確而言:當Y值有B分佈(α = β = 3/2)時,則其X = 2RYR值具備上述分佈特性。

性質

第二種切比雪夫多項式(Chebyshev Polynomial)是此分佈的正交多項式 (Orthogonal Polynomial) 。對於正整數n,此分佈之第2n動差(Moment)為:

 

此處 X是一隨機變數,而Cn是第n卡塔蘭數(Catalan number):

 


因此若R=2,此分佈之動差為卡塔蘭數。

(因為對稱性的關係,所有奇數項之動差皆為0)

若以   替代式子動差生成函數(Moment generating Function)內的x,則我們可以發現:


 


並得以此式子得出(詳見Abramowitz and Stegun §9.6.18)頁面存檔備份,存於互聯網檔案館):


 


式中的   是一變異貝索函數(Modified bessel functions)。

同樣地,其特徵方程式:


 


其中的   是貝索函數。( 詳見 Abramowitz and Stegun §9.1.20)頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)。若取一有限且接近0的實數  ,則維格納半圓分佈成為一狄拉克δ函數 (Dirac delta function)。微分方程式 (Differential equation)

 

與非古典機率的關係

非古典機率 (free probability) 理論中,維格納半圓分佈有着如同常態分佈 (Normal Distribution) 在古典機率中一樣的角色。 也就是說,在非古典機率中,累積量 (Cumulant) 的角色被"自由累積量" (free Cumulant、待翻譯)。

參看

參考

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