素點

素點，也叫位，英文單詞為Place（s）。

十九世紀的數學家確定了代數數是複數一種類型 ，這使在1897年亨澤爾發現P-adic數。一個數域所有的各種可能的嵌入都正好可對應該次嵌入拓撲完備化。一個數域F上的素點本質是F一個絕對賦值的等價類，用來度量F元素的大小。兩個這樣的絕對賦值都認為是等價的：如果一些元素的大小在一種度量下一樣大小（或逼近）。在一般情況下，他們可分為三類，首先平凡絕對賦值| |₀, 數域F中零元素的平凡絕對賦值總為0，所有非零元素的平凡絕對賦值總為1。第二類和第三類是阿基米德絕對賦值（阿基米德素點）和非阿基米德絕對賦值（非阿基米德素點）（或超度量），在一個素點完備F後，出現兩種情況，一個柯西序列，一個空序列，也就是序列x_n)_{n ∈ N} such that |x_n，當n趨於無窮，可以證明這又是一個域，在給定素點的F的完備域。

例如F= 有理數域Q時，會發生以下的非平凡賦值（奧斯特洛夫斯基定理）：域Q的絕對賦值為通常絕對值，這產生了完備的實數R拓撲域。另一方面，對於任何素數p， 如下定義產生p進數域：

|q|_p = p⁻ⁿ, q = pⁿ a/b ，q 和 a 和 b都不整除p.

R通常的絕對值和p進數域Q_p的范數不同，當q 乘以p的冪升高逐漸變小，完全相反R通常的絕對值。

參考文獻

• Janusz, Gerald J., Algebraic Number Fields 2nd, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1997, ISBN 978-0-8218-0429-2 
• Serge Lang, Algebraic Number Theory, second edition, Springer, 2000
• Richard A. Mollin, Algebraic Number Theory, CRC, 1999
• Ram Murty, Problems in Algebraic Number Theory, Second Edition, Springer, 2005
• Narkiewicz, Władysław, Elementary and analytic theory of algebraic numbers, Springer Monographs in Mathematics 3, Berlin: Springer-Verlag, 2004, ISBN 978-3-540-21902-6, MR 2078267 
• Neukirch, Jürgen, Algebraic number theory, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 322, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1999, ISBN 978-3-540-65399-8, MR 1697859 
• Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay, Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 323, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2000, ISBN 978-3-540-66671-4, MR 1737196 
• Andre Weil, Basic Number Theory, third edition, Springer, 1995