無理數

不能表示為整數的比率的實數
各式各樣的
基本

延伸
其他

圓周率
自然對數的底
虛數單位
無限大

無理數(irrational number)是指有理數以外的實數,當中的「理」字來自於拉丁語的rationalis,意思是「理解」,實際是拉丁文對於logos「說明」的翻譯,是指無法用兩整數之比來說明的無理數。

有理數實數不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式,小數點後有無限多,並且不會循環,即無限不循環小數(任何有限或無限循環小數可表示成兩整數的比)。常見無理數有大部分的平方根πe(後兩者同時為超越數)等。無理數另一特徵是無限的連分數表達式

傳說中,無理數最早由畢達哥拉斯學派弟子希伯斯發現,他以幾何方法證明無法用整數分數表示;而畢達哥拉斯深信任意數均可用整數及分數表示,不相信無理數存在,後來希伯斯觸犯學派章程,將無理數透露給外人,因而被扔進海中處死,其罪名竟然等同於「瀆神」。另見第一次數學危機

無理數可以通過有理數的分劃的概念來定義。

舉例

  1.  =1.73205080…
  2.  3=0.47712125…
  3. e=2.71828182845904523536…
  4. sin 45°= =0.70710678…
  5. π=3.141592653589793238462…

性質

  • 無理數加或減無理數不一定得無理數,如 
  • 無理數乘不等於0的有理數必得無理數。
  • 無理數的平方根立方根等次方根必得無理數。

不知是否是無理數的數

π+e、π-e等,事實上,對於任何非零整數  ,不知道 是否無理數。

無理數與無理數的四則運算的結果往往不知道是否無理數,只有π-π=0、 等除外。

我們亦不知道   歐拉-馬歇羅尼常數 卡塔蘭常數 費根鮑姆常數是否無理數。

無理數集的特性

無理數集是不可數集(有理數集是可數集而實數集是不可數集)。無理數集是不完備拓撲空間,它與所有正數數列的集拓撲同構,當中的同構映射是無理數的連分數開展,因而貝爾綱定理可應用於無數間的拓撲空間。

無理化作連分數的表達式

 

選取正實數 使

 

經由遞迴處理

 

無理數之證

證明 是無理數

假設 是有理數,且  是最簡分數。

兩邊平方,得 。將此式改寫為 ,可見 為偶數。

因為平方運算保持奇偶性,所以 只能為偶數。設 ,其中 為整數。

代入可得 。同理可得 亦為偶數。

這與 為最簡分數的假設矛盾,所以 是有理數的假設不成立。

證明 是無理數

假設 是有理數,兩邊平方得

 

其中因為 是有理數,所以 也是有理數。

透過證明 為無理數的方法,其中 為一非完全平方數

可以證明 是無理數

同樣也推出 是無理數

但這又和 是有理數互相矛盾

所以 是一無理數

證明 是無理數

證一

同樣,假設 是有理數,兩邊平方得

 

於是 是有理數。兩邊再次平方,得:

 

於是 

由於 是有理數,所以

 

 

透過證明形如 的數是無理數的方法,得出 也是一無理數

但這結果明顯和  皆為有理數出現矛盾,故 為無理數

證二

同樣假設 是有理數,

 

 ,兩邊平方:

 

 

 

證明 形式的數是無理數的方法,得出 是無理數

也是矛盾的。

證明 是無理數

 

 ,兩邊平方得

 

 ,得到 為一有理數

 ,兩邊繼續平方:

 

 

 

 

 

由於  皆為有理數

  亦為有理數

證明 形式的數是無理數的方法可知 為無理數

這和 是有理數衝突

所以得證 為無理數

參見

外部連結