泊松極限定理

概率論中,泊松極限定理是指,在一定條件下,泊松分佈可以用於近似二項分佈,可以用來解釋為什麼泊松分佈適合描述單位時間內隨機事件發生的次數。這個定理是以法國數學家西梅翁·德尼·泊松的名字命名。該定理的一個推廣形式是Le Cam定理

定理陳述

 是一個 中的實數列,如果 收斂到一個有限極限  ,那麼

 

證明

  .

考慮到

 

以及

 

這就推出所需結論

 

另一個證明

斯特林公式

 

 以及  :

 

因為當 ,  ,所以:

 

生成函數

我們也可以通過使用二項分佈的生成函數來證明這個定理:

 

二項式定理。令 的同時使 為常數,可以發現

 

這是泊松分佈的生成函數 (第二個等式成立是由於指數函數的定義)。

參考文獻