卜瓦松方程式

卜瓦松方程式(法語:Équation de Poisson)是數學中一個常見於靜電學機械工程理論物理偏微分方程式,因法國數學家幾何學家物理學家卜瓦松而得名的。[1]

方程式的敘述

卜瓦松方程式為

 

在這裏 代表的是拉普拉斯算子,而  可以是在流形上的實數複數值的方程式。當流形屬於歐幾里得空間,而拉普拉斯算子通常表示為 ,因此卜瓦松方程式通常寫成

 

在三維直角坐標系,可以寫成

 

如果有 恆等於0,這個方程式就會變成一個齊次方程式,這個方程式稱作「拉普拉斯方程式」。

 

卜瓦松方程式可以用格林函數來求解;如何利用格林函數來解卜瓦松方程式可以參考屏蔽卜瓦松方程式英語Screened Poisson equation。現在也發展出很多種數值解,如鬆弛法英語relaxation method(一種迭代法)。

數學表達

通常卜瓦松方程式表示為

 

這裏 代表拉普拉斯算子 為已知函數,而 為未知函數。當  時,這個方程式被稱為拉普拉斯方程式

為了解卜瓦松方程式我們需要更多的資訊,比如狄利克雷邊界條件:

 

其中   為有界開集

這種情況下利用基礎函數構建卜瓦松方程式的解,拉普拉斯方程式的基礎函數為:

 

其中 為n維歐幾里得空間中單位球面的體積,此時可通過卷積 得到  的解。

為了使方程式滿足上述邊界條件,我們使用格林函數

 

  為一個校正函數,它滿足

 

通常情況下 是依賴於 

通過  可以給出上述邊界條件的解

 

其中  表示 上的曲面測度。

此方程式的解也可通過變分法得到。

靜電學

靜電學很容易遇到卜瓦松方程式。對於給定的f找出φ是一個很實際的問題,因為我們經常遇到給定電荷密度然後找出電勢的問題。在國際單位制SI)中:

 

 代表電勢(單位為伏特), 體電荷密度(單位為庫侖/立方公尺),而 真空電容率(單位為法拉/公尺)。

如果空間中有某區域沒有帶電粒子,則

 

此方程式就變成拉普拉斯方程式

 

高斯電荷分佈的電場

如果有一個三維球對稱的高斯分佈電荷密度  

 

此處,Q代表總電荷

此卜瓦松方程式:  的解Φ(r)則為

 

erf(x)代表的是誤差函數.

注意:如果r遠大於σ,erf(x)趨近於1,而電場Φ(r)趨近點電荷電場  ;正如我們所預期的。

參閱

參考文獻

引用

  1. ^ Jackson, Julia A.; Mehl, James P.; Neuendorf, Klaus K. E. (編), Glossary of Geology, American Geological Institute, Springer: 503, 2005 [2015-05-30], ISBN 9780922152766, (原始內容存檔於2020-11-20) .

來源

外部連結