機率公設

公設化機率

概率公設(英語:Probability axioms)是概率論的公設,任何事件發生的概率的定義均滿足概率公設。因其提出者為安德烈·科摩哥洛夫,也被稱為科摩哥洛夫公設Kolmogorov axioms)。

某個事件的概率是定義在「全體」(universe)或者所有可能基礎事件的樣本空間時,概率必須滿足以下科摩哥洛夫公設。

也可以說,概率可以被解釋為定義在樣本空間的子集的σ代數上的一個測度,那些子集為事件,使得所有集的測度為。這個性質很重要,因為這裏提出條件概率的自然概念。對於每一個非零概率A都可以在空間上定義另外一個概率:

通常讀作「給定A時B的概率」。如果給定A時B的條件概率與B的概率相同,,則稱A與B互相獨立

當樣本空間是有限或者可數無限時,概率函數也可以以基本事件定義它的值,這裏

科摩哥洛夫公設

假設有一個基礎集 ,其子集的集合 σ代數,和一個給 的元素指定一個實數的函數  的元素,稱為「事件」。

第一公設(非負性)

對於任意一個集合 , 即對於任意的事件 

即,任一事件的概率都可以用  區間上的一個實數來表示。

第二公設(歸一化)

 

即,整體樣本集合中的某個基本事件發生的概率為1。更加明確地說,在樣本集合之外已經不存在基本事件了。

這在一些錯誤的概率計算中經常被小看;如果你不能準確地定義整個樣本集合,那麼任意子集的概率也不可能被定義。

第三公設(可加性)

任意兩兩不相交事件 可數序列滿足 

即,不相交子集的並的事件集合的概率為那些子集的概率的和。這也被稱為是σ可加性。如果存在子集間的重疊,這一關係不成立。

如想通過代數了解科摩哥洛夫的方法,請參照隨機變量代數

又發展成Boole不等式,證明時常使用此公式: 

概率論引理

從科摩哥洛夫公設可以推導出另外一些對計算概率有用的法則。

 
 

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