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楊-米爾斯存在性與質量間隙

楊－米爾斯規範場論與質量間隙是理論物理中規範場論的一道基礎問題，必須在數學上嚴格證明楊－米爾斯場論存在（即需符合構造性量子場論的標準），亦要證明它們有質量間隙，即模型所預測的最輕單粒子態為正質量。2000年，克雷數學研究所懸賞各一百萬元的數學七大千禧年難題，其中一道題為楊－米爾斯規範場論同質量間隙。[1]

背景

 
楊振寧

在物理學中，楊-米爾斯理論是一種基於非阿貝爾群的量子規範理論[2]:508。20世紀初，物理學家期待量子理論和經典場論兩種思想可以融合[3]:82-83。在這一方向上，最早出現的理論是英國物理學家保羅·狄拉克1927年創立的量子電動力學，簡稱QED[2]:7，它提供了對電磁現象的量子描述，成為麥克斯韋理論的一個量子版本[4][5]，能極為精確地解釋電磁場和電磁力。自然而然的，物理學家期待後續的理論能將電磁現象與弱力和強力一道統一起來[6]:2。

1954年楊振寧和羅伯特·米爾斯提出了楊-米爾斯理論[7]，它是對QED的進一步推廣[2]:481。在此基礎上統一電磁力和強弱相互作用時，物理學家發現這一理論的「無質量性」成為癥結所在[3]:88。經典楊-米爾斯理論的核心是一組非線性偏微分方程[8]，楊-米爾斯存在性與質量間隙難題旨在證明楊-米爾斯方程組有唯一解，並且該解滿足「質量間隙」這一特徵[3]:90，其官方表述為：對任意緊緻、單的規範群，四維歐幾里得空間中的量子楊-米爾斯理論存在一個正的質量間隙[6]:6。質量間隙問題是量子色動力學理解強相互作用的理論關鍵，關乎理論物理學的數學基礎，其解決將意味着一個數學上完整的量子規範場論的產生[6]:5。

這一問題的解決前景不甚樂觀，愛德華·威滕也直言「（它）對現在而言實在是太難了[3]:92。」物理學家普遍相信質量間隙的存在，但至今未能找到確鑿的數學和物理學證明[9]。

楊-米爾斯存在性與質量間隙問題的官方陳述由亞瑟·賈菲（英語：Arthur Jaffe）和愛德華·威滕寫出[6]。

目前所知多數非凡（nontrivial）──即有相互作用──的4維量子場論皆為有截斷能標（英語：cutoff (physics)）的有效場論。因多數模型的beta-函數是正的，似乎大多數這類模型皆有一支朗道極點，因完全不清楚它們有沒有非凡紫外定點。故此，若每一scale上皆定義有這樣的量子場論[a]，它只可能為單純的自由場論。

然而，有不可交換結構群的楊-米爾斯理論（無夸克）例外。它有一種性質稱為漸近自由，指它有一單純（trivial）的紫外定點（英語：UV fixed point）。因此，可以寄望它成為非凡的構造性（constructive）四維量子場模型[b]。

不交換羣楊-米爾斯理論的色禁閉性已有符合理論物理嚴謹性的證明，但未有符合數理物理嚴謹性的證明[c]。基本上，換言之，過了QCD尺度（或者這裏應稱為禁閉尺度，因為無夸克），那些色荷粒子被色動力學的「流管」連着，所以粒子間有線性勢（「弦」張力x長度）。所以膠子之類自由賀粒子不可能存在。若沒有這些禁閉效應，應見到零質量的膠子；但因它們被禁閉，只見到不帶色荷的膠子束綁態——膠波。凡膠波皆質量，所以期望質量間隙的存在。

格點規範場論（英語：lattice gauge theory）的結果令不少工作者相信，這個模型真的有禁閉現象（由Wilson圈的真空期望值的下降的「面積規律」(area law)看出），但這項結果還沒有符合數學的嚴慬性。

參見

註釋

  1. ^ 必需，因它要滿足公理化量子場論的公理。
  2. ^ 而量子色動力學有費米夸克，當然較為複雜。
  3. ^ 讀者可閱讀相關文章：量子色動力學）、夸克禁閉，格點規範理論（英語：lattice gauge theory）。

參考文獻

  1. ^ Jaffe A., Witten E. Quantum Yang Mills (PDF). （原始內容存檔 (PDF)於2021-01-21）. 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 Matthew D. Schwartz. Quantum Field Theory and the Standard Model. Cambridge University Press. 2013 [2015-08-06]. ISBN 9781107034730. （原始内容存档于2016-05-27）. 
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 3.3 Streater, Raymond F.; Wightman, Arthur S. PCT, Spin and Statistics, and All That. Princeton: Princeton University Press http://dx.doi.org/10.1515/9781400884230. 2001-12-31. ISBN 978-1-4008-8423-0.  缺少或|title=為空 (幫助)
  4. ^ Toichiro Kinoshita; Donald R. Yennie. The Birth of Quantum Field Theory. Quantum Electrodynamics. Advanced series on directions in high energy physics. World Scientific. 1990: 1 [2015-08-06]. ISBN 9789810202149. （原始内容存档于2016-05-29）. 
  5. ^ Silvan S. Schweber. The Birth of Quantum Field Theory. QED and the Men who Made it: Dyson, Feynman, Schwinger, and Tomonaga. Princeton series in physics. Princeton University Press. 1994: 39 [2015-08-06]. ISBN 9780691033273. （原始内容存档于2016-07-23）. 
  6. ^ 6.0 6.1 6.2 6.3 Arthur Jaffe and Edward Witten. Quantum Yang–Mills Theory (PDF). Clay Mathematics Institute. [2015-07-30]. （原始内容 (PDF)存档于2015-03-30）. 
  7. ^ Yang, C. N.; Mills, R. Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance. Physical Review. 1954, 96 (1): 191–195. Bibcode:1954PhRv...96..191Y. doi:10.1103/PhysRev.96.191. 
  8. ^ Michael R. Douglas. Report on the Status of the Yang-Mills Millenium Prize Problem (PDF). Clay Mathematics Institute. [2015-08-08]. （原始内容存档 (PDF)于2015-09-04）. 
  9. ^ A.S. Wightman; G. Velo. Fundamental Problems of Gauge Field Theory. Nato Science Series B illustrated. Springer Science & Business Media. 2013-11-11: 224 [2015-08-08]. ISBN 9781475703634. （原始内容存档于2016-05-31）. 
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