柯西中值定理

柯西中值定理，也叫拓展中值定理，是拉格朗日中值定理的推廣，是微分學的基本定理之一。

中值定理
微分中值定理 羅爾中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 積分中值定理 積分第一中值定理 積分第二中值定理 相關條目：微積分學

內容

如果函數$f(x)$及$g(x)$滿足

1. 在閉區間$[a,b]$上連續；
2. 在開區間$(a,b)$內可微分；
3. 對任意$x\in (a,b),g'(x)\neq 0$；

那麼在$(a,b)$內至少有一點$\xi (a<\xi <b)$，使等式

${\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}$

或

柯西定理的幾何意義

$(f(b)-f(a))g\,'(\xi )=(g(b)-g(a))f\,'(\xi )\,$

成立。

其幾何意義為：用參數方程表示的曲線上至少有一點，它的切線平行於兩端點所在的弦。

但柯西定理不能表明在任何情況下不同的兩點(f(a),g(a))和(f(b),g(b))都存在切線，因為可能存在一些c值使f′(c) = g′(c) = 0,換句話說取某個值時位於曲線的駐點;在這些點處，曲線根本沒有切線。下面是這種情形的一個例子

$t\mapsto (t^{3},1-t^{2}),$

在區間[−1,1]上，曲線由(−1,0)到(1,0),卻並無一個水平切線;然而它有一個駐點(實際上是一個尖點)在t = 0時。

柯西中值定理可以用來證明洛必達法則. 拉格朗日中值定理是柯西中值定理當g(t) = t時的特殊情況。

證明

首先，如果$g(a)=g(b)$，由羅爾定理，存在一點$x_{0}\in (a,b)$使得$g'(x_{0})=0$，與條件3矛盾。所以$g(a)\neq g(b)$。

令$h(x)=f(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}\cdot g(x)$。那麼

1. $h$在$[a,b]$上連續，
2. $h$在$(a,b)$上可導，
3. $h(a)=h(b)={\frac {f(a)g(b)-f(b)g(a)}{g(b)-g(a)}}$。由羅爾定理，存在一點$c\in (a,b)$使得$h'(c)=0$。即$f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}\cdot g'(c)$。命題得證。

參見

• 拉格朗日中值定理
• 微分中值定理
• 羅爾定理