有限交集性質

點集拓撲學中,有限交集性質是集合 X 的子集的集合(子集族,即冪集 的子集)的性質。一個集合有這個性質如果這個集合的任何有限個子集的交集為非空。

定義

  是集合,帶有   子集族。則集合   有有限交集性質(fip),如果任何有限子集合   都有非空交集  

討論

這個條件被平凡的滿足,如果在整個搜集上的交集非空(特別是如果這個搜集自身是空的);它還被平凡的滿足,如果這個搜集是嵌套的,這意味着對於任何有限子搜集,這個子搜集的特定元素被包含在這個子搜集的所有其他元素中,比如嵌套的區間序列

(0, 1/n)。

有限交集性質可用於公式化緊緻性的可供替代的定義:一個空間是緊緻的,當且僅當所有滿足有限交集性質的閉集的搜集自身都有非空交集。[1]。這個緊緻性的公式化用於吉洪諾夫定理實數不可數性的一些證明中。

例子

例如濾子通過定義有有限交集性質。

定理

 ,  F 有有限交集性質。則存在一個   超濾子(在   中)使得  。詳細證明參見 [2]

變體

集族 A強有限交集性質(sfip),如果所有 A 的有限子集族有有限交集。

引用

  1. ^ a space is compact iff any family of closed sets having fip has non-empty intersection. PlanetMath. 
  2. ^ Csirmaz, László and Hajnal, András: Matematikai logika. Eötvös Loránd University, Budapest, 1994. (online available, in Hungarian頁面存檔備份,存於互聯網檔案館))