拉格朗日定理 (群論)

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拉格朗日定理是群論中一個重要的結果，描述了一個群和它的子群的元素個數之間的關係。這個定理對有限群的結構給出了很多線索。

定理陳述

拉格朗日定理 — 如果 $H$ 是群 $G$ 的子群，那麼 $$|G|=|H|[G:H]$$ 而如果 $G$ 是有限群，那麼這個定理可以簡化成—— $|H|$ 是 $|G|$ 的因數。

證明思路

定理的證明利用了陪集的以下性質：

1. 一個子群的所有陪集在集合意義下有相同的大小（ Cardinality ）。
2. 一個子群的所有陪集分割了整個群。
3. 根據集合的特性， $G$ 的大小可以寫成是陪集的大小（ $|H|$ ）乘上陪集的數量（ $[G:H]$ ）。

推論

1. 由拉格朗日定理可立即得到——有限群 $G$ 中每個元素的階（ Order ）都會整除群 $G$ 的階（考慮由這個元素生成的循環群）。
2. 如果 $|G|$ 是質數，那麽 $G$ 同構於質數階的循環群 $C_{|G|}$ （因為質數沒有 $1$ 和自身以外的因數）。
3. 費馬小定理是拉格朗日定理的一個簡單推論。

逆命題

拉格朗日定理的逆命題並一般來說不成立。 $|G|$ 的因數可能不是任何子群的階。例如交錯群 $A_{4}$ 的階是 $12$ ，但它沒有任何階是 $6$ 子群。然而柯西定理以及它的推廣——西羅定理——則表明：具有特定形式的因數確實是某個子群的階；而如果 $G$ 是可解群的話，則西羅定理還可以進一步推廣成霍爾定理。

參見

• 群
• 陪集
• 費馬小定理
• 西羅定理
• 有限群
• 階 (群論)

參考文獻

• Gallian, Joseph. Contemporary Abstract Algebra 第八版. Cengage Learning. 2012. ISBN 978-1133599708 （英語）. 
• Hungerford, Thomas William. Algebra 第一版. Springer. 1974. ISBN 978-1-4612-6101-8 （英語）.