拉克斯-米爾格拉姆定理

拉克斯-米爾格拉姆定理數學泛函分析的定理,以彼得·拉克斯阿瑟·米爾格拉姆命名。這定理可用來藉弱形式求解偏微分方程,因此主要用作有限元法的理論基礎。

敘述

  •  是實希爾伯特空間,其內積記作 ,導出範數 
  •  雙線性型,使得
  •  連續
 
  •  強制(有稱為 -橢圓性):
 
  •   上的連續線性型

那麼存在唯一的 ,使得對所有 都有 

 

而且如果 對稱的,那麼  中唯一的元素,使得以下泛函最小值  對所有 ,即:

 

證明

一般情形

套用里斯表示定理到連續線性型上,可知存在唯一的 ,使得 對任意 成立。

對所有 ,映射  上連續線性型,因此同樣可知存在唯一的 ,使得 對任意 成立。易知算子  是一個 上連續線性自同態。由此可把 表示成如下等價形式:

 

要證明此命題,只要證得 是從  雙射。首先證明它是單射,再證它是滿射

 的強制性,使用柯西-施瓦茨不等式,得到對任何 

 

從而知對任何 

  (*)。

這證明了 是單射。

要證明滿射,考慮算子  內的 

不等式(*)表示,如 柯西序列,那麼  內的柯西序列。由 的完備性, 收斂至 。因 連續,得出 收斂至 

 因此為 中的子空間,由投影定理可知 

再設元素 ,從定義有 ,因此

 

故得 。所以  ,證得 是滿射。

自同態 是雙射,故在 內存在唯一的 使得 ,且可以由 得出。

附註

不用求出 ,有其範數的上界估計

 

其中 表示對偶空間 的範數。

對稱情形

如果雙線性型 對稱,那麼對所有 有:

 

 是命題(1)的唯一解,有

 

 的強制性有:

 

 ,從上式有 對任意 成立,因而得到 的結果。

應用

這定理是有限元法的基礎。實際上,若不在 內求 ,而是在 的有限 維子空間 內求 ,那麼

  • 如果 對稱,以 內積  的投影。
  • 給出  ,上述問題化為求解線性方程組:
 

其中