志村簇

在數學中的代數幾何與數論領域，志村簇是一類特殊的代數簇，可視之為模曲線在高維度的類推。粗略地說，志村簇乃是埃爾米特對稱空間對某個代數群之同餘子群的商；最簡單的例子是上半平面對 $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ 的商。一維的志村簇有時也被稱為志村曲線。

志村五郎在1960年代研究了上述商空間的緊化，其目的在推廣複乘法理論及互逆律^[1]；在此需要的基本結果是 Baily-Borel 定理（1966）^[2]。此後，人們也發現志村簇是某類霍奇結構的模空間。

典範模型

按照定義，志村簇本身僅是一個複流形。志村五郎證明了每個志村簇都可以定義在一個唯一確定的數域 $K$ 上，由此也可解釋志村簇與數論問題的關聯。這個結果是志村五郎陳述其互逆律的出發點。

在郎蘭茲綱領中的角色

志村簇在郎蘭茲綱領扮演重要地位。根據郎蘭茲的猜想，對任一定義在數域 $K$ 上的代數簇 $X$ ，其哈瑟-韋伊ζ函數將會來自一個自守表示。至今已知的結果全是 $X$ 為志村簇的情形。

在這個方向上，一個指導性的結果是 Eichler-志村同餘關係：此結果保證了模曲線的哈瑟-韋伊ζ函數可表成源自模形式的L函數之積，其中每個模型式的權都是二，並具有明確的表示式。事實上，志村五郎發展其理論的動機就是推廣這個結果。

文獻

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Deligne, Pierre; Milne, James S.; Ogus, Arthur; Shih, Kuang-yen Hodge cycles, motives, and Shimura varieties. Lecture Notes in Mathematics, 900. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1982. ii+414 pp. ISBN 3-540-11174-3 MR 0654325
Deligne, Pierre Variétés de Shimura: interprétation modulaire, et techniques de construction de modèles canoniques. Automorphic forms, representations and L-functions (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), Part 2, pp. 247--289, Proc. Sympos. Pure Math., XXXIII, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1979. MR 0546620
Deligne, Pierre Travaux de Shimura. Séminaire Bourbaki, 23ème année (1970/71), Exp. No. 389, pp. 123--165. Lecture Notes in Math., Vol. 244, Springer, Berlin, 1971. MR 0498581
J. Milne, Shimura varieties and motives U. Jannsen (ed.) S. Kleiman (ed.) J.-P. Serre (ed.) , Motives , Proc. Symp. Pure Math. , 55: 2 , Amer. Math. Soc. (1994) pp. 447–523
J.S. Milne, Shimura variety, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
J. S. Milne Introduction to Shimura varieties （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, chapter 2 of the book edited by Arthur, Ellwood, and Kottwitz (2003)
Shimura, Goro, The Collected Works of Goro Shimura (2003), five volumes

註記

^ 見其著作 Introduction to Arithmetic Theory of Automorphic Functions。
^ Baily,W.L., Borel,A.: Compactication of arithmetic quotients of bounded symmetric domains, Ann. Math.84 (1966), 442 - 528.

外部連結

J.S. Milne, Shimura variety, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4

[1] 見其著作 Introduction to Arithmetic Theory of Automorphic Functions。

[2] Baily,W.L., Borel,A.: Compactication of arithmetic quotients of bounded symmetric domains, Ann. Math.84 (1966), 442 - 528.

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