弗勒登塔爾懸垂定理

在數學的同倫論中，弗勒登塔爾懸垂定理是一條基礎定理，引發出穩定同論群的概念，從而產生了穩定同倫論。這條定理是漢斯·弗勒登塔爾在1937年證明，說明了把一個空間取懸垂時，這個空間的同倫群的表現。

定理

令X為n-連通點標空間（點標CW複形或點標單純集合）。映射

X → Ω(X ∧ S¹)

誘導出群同態

π_k(X) → π_k(Ω(X ∧ S¹)).

此處∧是smash積，Ω是閉路函子。X的懸垂是X ∧ S¹。

弗勒登塔爾懸垂定理指出，若k ≤ 2n，則所誘導的同態是群同構；若k = 2n + 1，則是滿射。

閉路空間的一個初等結果是

π_k(Ω(X ∧ S¹)) ≅ π_k+1(X ∧ S¹).

因此定理中的映射也可以改換為

π_k(X) → π_k+1(X ∧ S¹),

但是要當心定理中同倫群的指數是哪一個。

推論

• 因為n-球面Sⁿ是(n − 1)-連通的，由定理知對n ≥ k + 2，同倫群π_n+k(Sⁿ)穩定，即是不依賴於n。（n-球面Sⁿ的懸垂是(n+1)-球面Sⁿ⁺¹）這些同倫群是球面的第k個穩定同倫群。

• 更一般地，固定k ≥ 1，對n ≥ k/2，對任何n-連通空間X都可以定義穩定同倫群。這其實是與X相關的譜的穩定同倫群。

參考

• Freudenthal, H., Über die Klassen der Sphärenabbildungen. I. Große Dimensionen, Compositio Mathematica, 1938, 5: 299–314 [2015-04-18], （原始內容存檔於2022-01-04） .
• Goerss, P. G.; Jardine, J. F., Simplicial Homotopy Theory, Progress in Mathematics 174, Basel-Boston-Berlin: Birkhäuser, 1999 .
• Hatcher, Allen, Algebraic Topology, Cambridge: Cambridge University Press, 2002 [2015-04-18], ISBN 0-521-79540-0, （原始內容存檔於2012-02-20） .
• Whitehead, G. W., On the Freudenthal Theorems, Annals of Mathematics, 1953, 57 (2): 209–228, JSTOR 1969855, MR 0055683, doi:10.2307/1969855 .