母子相似定理
射影定理(台灣稱「母子相似定理」)(英語:Geometric Mean Theorem),又稱歐幾里得定理(英語:Euclid's theorem),是平面幾何中的一個定理。這個定理指出,在一個直角三角形中,一條直角邊的平方,相等於三角形的斜邊乘以該直角邊在斜邊上的正投影。[1]這個定理出現在歐幾里得所著《幾何原本》第一卷當中,是第 47 個命題畢氏定理證明過程的一部分。[2]
定理內容
在 ΔABC 中,∠C = 90°。設 CD 在 AB 的上的高,則有:
在這裏,AD 及 BD 分別是 AC 及 BC 在底邊 AB 的正投影,故定理以此為名。
證明
注意到 ΔABC 與 ΔACD 是相似三角形。因此可得
整理可得
同理,考慮相似三角形 ΔABC 與 ΔCBD,可得
整理可得
證明完畢。
相關定理
直角三角形面積
在上面的 ΔABC 中,我們有:
考慮三角形的面積,即可容易地證明。
勾股定理
勾股定理,是歐幾里得所著《幾何原本》第一卷當中的第 47 個命題。[2]這個定理指出:
勾股定理與射影定理有密切關係。事實上,在《幾何原本》中,射影定理正是該證明過程的一部分。從射影定理可知:
將兩條等式相加,則可得:
由於 AD + BD = AB,因此可得:
證明完畢。
幾何平均定理
幾何平均定理,是在《幾何原本》第六卷中的第 8 個命題。[3]這個定理指出:
也就是說,CD 是 AD 和 BD 的幾何平均。
與射影定理一樣,幾何平均定理可從相似三角形得證。
一般三角形的情況
對於 ∠C ≠ 90° 的情況,三角形邊長的正投影可用餘弦求得:
以上結果從餘弦的定義直接可得。
把上面兩式相加,即可得:
以上公式,又被稱為「第一餘弦定理」。[4]然而,一般「餘弦定理」所指的,是另一條定理(「第二餘弦定理」),詳見餘弦定理。
三維空間上的推廣
三直角四面體
射影定理在三維空間上,也有相應的推廣。設三直角四面體 ABCD 中,∠ADB = ∠ADC = ∠BDC = 90°。又設 D 在斜面 ΔABC 的正投影為 E。我們則有:
其中 [ΔABC] 表示 ΔABC 的面積。
把以上三條等式相加,則可得德古阿定理:
德古阿定理可以視為畢氏定理在三維空間上的其中一種推廣。[5]
一般四面體
在四面體 ABCD 中,設 ΔABC 為底面。又設 D 在 ΔABC 的正投影為 E。我們則有:
其中 α 、β 及 γ 分別是 AD 、BD 及 CD 與底面 ΔABC 的夾角。
另外亦有:
其中 θ 、ϕ 及 ψ 分別是 ΔABD 、ΔACD 及 ΔBCD 與底面 ΔABC 的夾角。
將上面三條等式相加,可得:
是上面提到「第一餘弦定理」的三維推廣。
任意圖形的投影
更進一步地說,面積為 S 的任意平面圖形,在底面的正投影的面積 Sproj,都可用餘弦求得:
其中 θ 是該平面圖形與底面的夾角。
參考資料
- ^ 曹才翰 主編; 沈復興, 孫瑞清, 餘炯沛等 副編. 《中國中學教學百科全書 • 數學卷》. 瀋陽出版社. 1991. ISBN 9787805564241.
- ^ 移至: 2.0 2.1 Euclid. Proposition 47, Element, Book I. c 300 BC [2020-02-15]. (原始內容存檔於2021-02-24). 引用錯誤:帶有name屬性「Euclid_I47」的
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標籤用不同內容定義了多次 - ^ Euclid. Proposition 8, Element, Book VI. c 300 BC [2020-02-15]. (原始內容存檔於2020-02-03).
- ^ 中原晴彥. エジプト人のための三角比入門 (PDF). 順天サイエンスライブラリー. 2003 [2020-02-15]. (原始內容存檔 (PDF)於2020-02-15).
- ^ Sergio A. Alvarez. Note on an n-dimensional Pythagorean theorem (PDF). Center for Nonlinear Analysis and Department of Mathematical Sciences, Carnegie Mellon University. [2020-02-15]. (原始內容存檔 (PDF)於2012-10-02).