多面體群
群
多面體群共三個：
- 12階四面體群，正四面體的旋轉對稱群。它與A4同構。
- T的共軛類是：
- 恆等
- 4 × 旋轉 120°，3階，順時針
- 4 × 旋轉 120°，3階，逆時針
- 3 × 旋轉 180°，2階
- T的共軛類是：
- 24階八面體群，立方體和正八面體的旋轉對稱群。它與S4同構。
- O的共軛類是：
- 恆等
- 6 × 圍繞頂點旋轉 ±90°，4階
- 8 × 圍繞三角形中心旋轉 ±120°，3階
- 3 × 圍繞頂點旋轉 180°，2階
- 6 × 圍繞邊緣中點旋轉 180°，2階
- O的共軛類是：
- 60階二十面體群，正十二面體和正二十面體的旋轉對稱群。它與A5同構。
- I的共軛類是：
- 恆等
- 12 × 旋轉 ±72°，5階
- 12 × 旋轉 ±144°，5階
- 20 × 旋轉 ±120°，3階
- 15 × 旋轉 180°，2階
- I的共軛類是：
對於全反射群，以上的對稱性加倍，分別為24、48、120階，分別有6、9 和15 個反射鏡面。八面體對稱群[4,3]可以看作是四面體對稱群 [3,3] 的6個反射鏡面和二面體群Dih2[2,2] 的3個反射鏡面的併集。五角十二面體對稱性是四面體對稱性的另一種加倍。
完全四面體對稱的共軛類Td≅S4是：
- 恆等
- 8 × 旋轉 120°
- 3 × 旋轉 180°
- 6 × 通過兩個旋轉軸在平面內進行反映
- 6 × 旋轉-反映 90°
五角十二面體對稱性Th的共軛類包括T的共軛類，其中兩個4階類組合在一起，並且每個類都具有反演：
- 恆等
- 8 × 旋轉 120°
- 3 × 旋轉 180°
- 反演
- 8 × 旋轉-反映 60°
- 3 × 平面反映
- 反演
- 6 × 旋轉-反映 90°
- 8 × 旋轉-反映 60°
- 垂直於 4 次軸的平面中的 3 × 反射
- 垂直於 2 次軸的平面中的 6 × 反射
完全二十面體對稱 Ih ≅ A5 × C2的共軛類 ，還包括每個具有反演的：
- 反演
- 12 × 旋轉-反映 108°， 10階
- 12 × 旋轉-反映 36°，10階
- 20 × 旋轉-反映 60°，6階
- 15 × 旋轉-反映，2 階
手性多面體群
名稱/熊夫利斯（Schönflies）記號 （軌型符號 ) |
考克斯特符號 | 階 | 抽象結構 | 旋轉軸 #度 |
圖表 | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 正交 | 立體 | |||||||||||
| T(332) |   [3,3]+
|
12 | A4 | 43  32
|
|
|
|
| ||||
| Th (3*2) |
   [4,3+]
|
24 | A4 ×2 | 43 3*2
|
|
|
|
| ||||
| O (432) |
[4,3]+
|
24 | S4 | 34 43 62
|
|
|
|
| ||||
| I (532) |
 [5,3]+
|
60 | A5 | 65 103 152
|
|
|
|
| ||||
全多面體群
| 熊夫利斯（Schönflies）記號 （軌型符號軌型符號) |
考克斯特符號 | 階 | 抽象 結構 |
考克斯特數字（H） | 鏡面 (h) |
鏡像圖 | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 正交 | 立體 | ||||||||||
| A3 Td (*332) |
 [3,3] |
24 | S4 | 4 | 6
|
|
|
|
| ||
| B3 Oh (*432) |
[4,3] |
48 | S4 ×2 | 8 | 3 6
|
|
|
|
| ||
| H3 Ih (*532) |
[5,3] |
120 | 5 ×2 | 10 | 15
|
|
|
|
| ||
參見
參考文獻
- Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes, 3rd ed. New York: Dover, 1973. (The Polyhedral Groups. §3.5, pp. 46–47)