複射影平面

數學中，複射影平面（complex projective plane），通常記作$\mathbb {CP} ^{2}$，是二維複射影空間。它是一個複流形，由三個復坐標描述

$(z_{1},z_{2},z_{3})\in \mathbb {C} ^{3},\qquad (z_{1},z_{2},z_{3})\neq (0,0,0)$

但這裏差一個整體縮放的三元組是等同的：

$(z_{1},z_{2},z_{3})\equiv (\lambda z_{1},\lambda z_{2},\lambda z_{3});\quad \lambda \in \mathbb {C} ,\qquad \lambda \neq 0.$

這就是說，它們是射影幾何的傳統意義下的齊次坐標。

複射影平面是一個二維複流形，作為一個四維實流形，它的餘調群是

$\mathbb {Z} ,0,\mathbb {Z} ,0,\mathbb {Z}$

中間第二維的生成元由位於此平面中的複射影直線或稱黎曼球面的餘調類$u$給出。它的餘調環由 $u^{2}=$$[\mathbb {CP} ^{2}]$決定。

在雙有理幾何中，復有理曲面是任何雙有理等價於複射影平面的代數曲面。我們知道任何非奇異有理簇可由此平面通過曲線的拉開轉換與其逆（壓平）序列得到，一定是非常特殊的一類。特別的一種情形，P³ 中一個非奇異復二次曲線是由此平面通過拉開兩點為曲線，然後將通過這兩點的直線拉開得到；這個轉換的逆過程可視為取二次曲線 Q 中一點 P，將其拉開，通過作過 P 的直線將其投影到 P³ 中一個一般平面。

複射影平面的雙有理自同態群是克里摩拿群（Cremona group）。

拓撲

複射影平面的貝蒂數為：

1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, .....

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