海曼多項式

數學中,海曼多項式(Hermite polynomials)是一種經典的正交多項式族,得名於法國數學家夏爾·海曼概率論裏的埃奇沃斯級數的表達式中就要用到海曼多項式。在組合數學中,海曼多項式是阿佩爾方程的解。物理學中,海曼多項式給出了量子諧振子本徵態

定義

 
前六個(概率論中的)海曼多項式的圖像。

海曼多項式有兩種常見定義。

第一種是概率論中較為常用的形式(記作: ):

 

另一種是物理學中較為常用的形式(記作: ):

 

物理學捨棄了常系數0.5,兩定義之間的關係是:

 

概率論中常用第一種定義,因為 是標準正態分佈函數(數學期望值等於0,標準差等於1)的概率密度函數

 
前六個(物理學中的)海曼多項式的圖像。
前六個概率學和物理學中的海曼多項式
序號 概率學 物理學
     
     
     
     
     
     

性質

多項式Hn 是一個n次的多項式。概率論的海曼多項式是首一多項式(最高次項系數等於1),而物理學的海曼多項式的最高次項系數等於2n

正交性

多項式Hn 的次數與序號n 相同,所以不同的海曼多項式的次數不一樣。對於給定的權函數 w,海曼多項式的序列將會是正交序列。

    (概率論)
    (物理學)

也就是說,當m ≠ n 時:

 

除此之外,還有:

    (概率論)
    (物理學)

其中 克羅內克函數

從上式可以看到,概率論中的海曼多項式與標準正態分佈正交。

完備性

在所有滿足

 

的函數所構成的完備空間中,海曼多項式序列構成一組。其中的內積定義如下:

 

海曼微分方程

概率論中的海曼多項式是以下微分方程的解:

 

方程的邊界條件為: 應在無窮遠處有界。

其中 是這個方程的本徵值,是一個常數。要滿足上述邊界條件,應取  。對於一個特定的本徵值 ,對應着一個特定的固有函數解,即 

物理學中的海曼多項式則是以下微分方程的解:

 

其本徵值同樣為  ,對應的固有函數解為 

以上兩個微分方程都稱為海曼方程

參考文獻

  • Arfken, Mathematical Methods for Physicists
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外部連結