反證法

反證法^[1]（英語：proof by contradiction）又稱背理法，是一種論證方式，他首先假設某命題成立（即在原命題的條件下，結論不成立），然後推理出明顯矛盾的結果，從而下結論說原假設不成立，原命題得證。

反證法與歸謬法相似，但歸謬法不僅包括推理出矛盾結果，也包括推理出不符事實的結果或顯然荒謬不可信的結果。

理據

給出命題 $p$ 和命題 ${\bar {p}}$ （非 $p$ ），根據排中律，兩者之中起碼有一個是真（更強的說法為，除了真和假之外並無其他的情況），所以如果其中一個是假的，另一個就必然是真。給出命題 $q$ 和命題 ${\bar {q}}$ （非 $q$ ），根據無矛盾律，兩者同時為真的情況為假。給出命題 ${\bar {p}}$ 和 $r$ ，根據否定後件律，如果若 ${\bar {p}}$ 成立時出現 $r$ ，則 $r$ 為假時 ${\bar {p}}$ 即為假。反證法在要證明 $p$ 時，透過顯示出若 ${\bar {p}}$ 成立時出現矛盾（ $q$ 和 ${\bar {q}}$ ），即 ${\bar {p}}$ 為假，從而證明 $p$ 為真。

例子

${\sqrt {2}}$ 是無理數的證明（古希臘人）

證明：假設 ${\sqrt {2}}$ 是有理數，那麼可以寫成 ${\frac {p}{q}}$ 的形式，其中 $p$ 、 $q$ 皆為正整數且 $p$ 、 $q$ 互質。那麼有

$p={\sqrt {2}}\times q$
$p^{2}=2\times q^{2}$

可得 $p^{2}$ 是偶數。而只有偶數的平方才是偶數，所以 $p$ 也是偶數。因此可設 $p=2s$ ，從而 $p^{2}=4s^{2}$ ，代入上式，得： $q^{2}=2s^{2}$ 。所以 $q^{2}$ 也是偶數，故可得 $q$ 也是偶數。這樣 $p$ 、 $q$ 都是偶數，不互質，這與假設 $p$ 、 $q$ 互質矛盾，假設不成立。因此 ${\sqrt {2}}$ 為無理數。

其他可用反證法證明的例子

數學上有許多的定理可用反證法來證明，以下是一小部分的例子：

證明有無限多個質數。
任意6人當中，求證或者有3人兩兩相識，或者有3人互不相識。
現有90張紙，每張紙都寫有一個非負整數，已知這90個數之和小於1980，證明至少有三張數目相同的紙。
集合 $S=\{x:0<x<1\}$ 沒有最小值。
設 $n$ 是大於1的整數，若所有小於或等於 ${\sqrt {n}}$ 的質數都不能整除 $n$ ，則 $n$ 是質數。
已知三角形ABC是銳角三角形，且 $\angle A>\angle B>\angle C$ 。求證： $\angle B>45^{\circ }$ 。
已知 $a$ 、 $b$ 為正實數，求證： ${\frac {a+b}{2}}\geq {\sqrt {ab}}$ 。
已知 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 是實數，且 $ad-bc=1$ ，求證： $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+ab+cd\neq 1$ 。
一個群若同時是交換群和單群，則該群是循環群
若一個循環群是單群，則該群的階為質數
若一個循環群的階為質數，則該群為單群
鴿籠原理