傅立葉變換家族中的關係

在數學領域的諧波分析中,連續傅立葉變換(continuous Fourier transform, CFT)與傅立葉級數 (Fourier series, FS)有非常微妙的關係。而且連續傅立葉變換也與離散時間傅立葉變換(discrete time Fourier transform, DTFT)和離散傅立葉變換(discrete Fourier transform, DFT)有很近的關係。傅立葉變換家族通常就是指這四種變換。

通過利用Dirac delta函數 ,CFT可以應用到時間離散 (time-discrete)或時間周期(time-periodic)信號。實際上,FS、 DTFT和DFT都可以由最廣泛的CFT得到。從理論上看,它們也都是CFT的特殊情況。

在信號理論和數碼訊號處理(digital signal processing, DSP)中,DFT擴展用於近似計算連續信號的頻譜,其變換的對象只是一個採樣點的有限序列,而且可以由快速傅立葉變換(fast Fourier transform, FFT)實現。

家族中各個變換的定義

下表中左上、左下、右上和右下分別對應了傅立葉變換家族中CFT、FS、DTFT和DFT四個變換對的定義。

傅立葉變換家族中各種變換的定義
× 連續時間 離散時間
時間非周期    
-    
時間周期    
-    

顯然,上表是從時域信號的角度來劃分的:表的列區分了連續時間和離散時間的信號,而表的行則區分了時間上非周期的信號和時間上周期的信號。其中重要的參量符號解釋為:

  •    都為無限序列,其採樣間隔,即間隔時間和間隔頻率分別為   
  •    都為周期函數,且時間周期和頻率周期分別為   
  •    都為有限序列,且序列長度都為  

關係推導所需的公式

前面表中的定義都可以通過Dirac delta函數   的擴展形式 ,即Dirac comb函數,由CFT引入或推導。為計算離散和/或周期信號的CFT,我們需要引入一些公式,並使用傅立葉變換的一些特性。以下集中給出:

1. Dirac comb函數的傅立葉變換

Dirac comb函數的定義為

 

在電氣工程中通常又稱作衝擊串(impulse train)或採樣函數 (sampling function)。其重要的傅立葉變換為:

 

這個變換在傅立葉變換家族中各個變換之間轉換上起關鍵作用。

2. 傅立葉變換的卷積定理(convolution theorem)

這包括了傅立葉變換的時域卷積和頻域卷積:

 

3. 泊松求和公式(Poisson summation formula)

由Dirac comb函數的傅立葉變換和卷積定理,容易證明泊松求和公式:

 

若第1和第2公式中分別取    ,得到相同等式:

 

這表明,傅立葉變換時時域函數   和頻域函數   分別以    為間隔採樣,則所有時域採樣點的總和與所有頻域採樣點擴大   的總和相等。

各種變換之間的關係

 
圖 1. 此「立方體」圖形表示了連續傅立葉變換離散時間傅立葉變換傅立葉級數離散傅立葉變換之間的關係。


圖中立方體包含了頻域和時域兩個平面上各種變換的關係,同時兩平面相連的四個邊則分別代表了CFT、FS、DTFT和DFT。其中參量符號與前面表中相同,另外增加:

  •   為由FS和DTFT推導DFT得到的DFT'頻域形式,與傳統DFT的頻域   有關係:  
  • 圖中粗的雙箭頭( )表示每個函數和其變換之間的聯繫;

總的說來,各種變換之間的轉換是一個周期擴展或採樣的過程:

  • 如果時域進行周期擴展,則頻域為採樣;如果時域進行採樣,則頻域為周期擴展;
  • 一個轉換中,周期擴展的周期與採樣的間隔有倒數關係;
  • 頻域的周期擴展或者採樣,都有一個周期或採樣間隔作係數;

這裏的周期擴展就是與Dirac comb函數相卷積,而採樣則是與Dirac comb函數相乘。

從CFT分別到FS和DTFT的轉換都容易推導,下面具體說明FS和DTFT到DFT/DFT'轉換的推導,最後說明連續FT與DFT/DFT'的關係。

由DTFT推導DFT

設DTFT,及對應的CFT為:

 

在時域作周期為   的擴展,有:

 

其中代入了   ,而由於    的求和區間都為    ,可以用   代替   得到最後一步推導。取:

 

在頻域作帶係數   且間隔也為   的採樣,有:

 

取:

 


由FS推導DFT

設FS,及對應的CFT為:

 

在時域作間隔為   採樣,有:

 

取:

 

在頻域作帶係數   且周期也為   擴展,有:

 

其中也代入了   ,而由於    的求和區間都為    ,可用   替代   得到最後一步推導。 取:

 


CFT與DFT的關係

前面FS到DFT和DTFT到DFT的推導都得到相同的    。這裏的    可看作一種DFT變換對,有關係:

 

記為:

 

對比傳統DFT變換對的    ,顯然有:

 

這一對變換的等式右邊係數的乘積為   ,符合我們在DFT中的說明,因而完全可以將這裏的DFT'看作傳統DFT的另一種變換形式 。

而由前面轉換的推導過程可得到:

 

為一對CFT,其中要求   。加之如果  ,則有:

 

其中可以任選    。這樣就建立了CFT和DFT之間的雙向關係。但應注意到,此時我們已經將DFT'和DFT都做了周期拓展,即  

參看

參考文獻

  1. Oppenheim, Alan V.; Schafer, R. W.; and Buck, J. R., (1999). Discrete-time signal processing, Upper Saddle River, N.J. : Prentice Hall. ISBN 0137549202
  2. Sklar, B., (2001). Digital Communications: Foundamentals and Applicatons, 2nd Edition, Prentice Hall PTR. ISBN 0130847887