伯恩施坦不等式

概率論中,伯恩施坦不等式(Bernstein inequalities)給出了隨機變量的和對平均值偏離的概率。在最簡單的情況下,設是獨立的伯努利隨機變量,取值+1和-1的概率各是1/2,則對任意正數

伯恩施坦不等式由謝爾蓋·伯恩施坦於1920年代證明,並於1930年代發表[1][2][3][4]。之後,這些不等式多次被其他數學家獨立地發現。因此,伯恩施坦不等式的一些特例也被稱為Chernoff界,Hoeffding不等式,以及吾妻不等式

不等式

1.設 是數學期望值為0的獨立的隨機變量。若對所有  幾乎必然成立,則對任意正數 

 

2.設 是獨立的隨機變量。若存在正實數 ,使得對任意整數 ,都有 ,則對 

 

3.設 是獨立的隨機變量。若對任意整數 ,都有 ,記 ,則對於 

 

4.伯恩施坦也把以上不等式推廣到弱相關隨機變量的情況。例如,不等式(2)可以推廣成以下形式。 可以不是獨立隨機變量。若對任意正整數 

 

 

 

則對於 

 

另見

參考資料

  1. ^ S.N.Bernstein, "On a modification of Chebyshev’s inequality and of the error formula of Laplace" vol. 4, #5 (original publication: Ann. Sci. Inst. Sav. Ukraine, Sect. Math. 1, 1924)
  2. ^ Bernstein, S. N. (1937). "Об определенных модификациях неравенства Чебышева" [On certain modifications of Chebyshev's inequality]. Doklady Akademii Nauk SSSR. 17 (6): 275–277.
  3. ^ S.N.Bernstein, "Theory of Probability" (俄語), Moscow, 1927
  4. ^ J.V.Uspensky, "Introduction to Mathematical Probability", McGraw-Hill Book Company, 1937