三尖瓣線

三尖瓣線(tricuspoid)也稱為施泰納曲線(Steiner curve),是有三個尖點圓內螺線,是一個圓繞着直徑為其三倍的圓內側無滑動滾動時,圓上一點產生的一般旋輪線

紅色的即為三尖瓣線

三尖瓣線也可以指有三個頂點,之間用向內彎曲的曲線相連的封閉空間,因此三尖瓣線內的空間是非凸集合[1]

方程式

三尖瓣線可以用以下的參數方程表示:

 
 

其中a是小圓的半徑,b是大圓(也就是小圓在其內側無滑動滾動)的半徑(此處b = 3a)。

在複變座標下可得

 .

上述的t可以消去,得到以下的笛卡爾座標下的方程

 

因此三尖瓣線是四階的代數曲線,在極坐標下為

 

曲線有三個奇點,是對應 的尖點。上述的參數式意味者曲線為有理曲線,也就表示其幾何虧格英語geometric genus為零。

三尖瓣線的對偶曲線英語dual curve

 

在原點有一個二重點,若進行一個虛軸上的旋轉y ↦ iy,曲線會變為下式,就可以看到其二重點

 

在實平面的原點上有二重點。

面積及周長

三尖瓣線的面積為 ,其中a為小圓的半徑,其面積是小圓面積的兩倍[2]

其周長為16a[2]

歷史

早在1599年時,伽利略·伽利萊馬蘭·梅森就已開始研究常見的擺線,而奧勒·羅默在1674年研究齒輪的最佳外形時,也有用到擺線。李昂哈德·歐拉認為他是最早(1745年)將三尖瓣線應用在實際光學問題的人。

應用

三尖瓣線有應用在許多的數學領域中,舉例如下:

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參考資料

  1. ^ 1.0 1.1 存档副本. [2017-10-24]. (原始內容存檔於2017-11-21). 
  2. ^ 2.0 2.1 Weisstein, Eric W. "Deltoid." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Deltoid.html頁面存檔備份,存於互聯網檔案館
  3. ^ Lockwood
  4. ^ Dunn, J. A., and Pretty, J. A., "Halving a triangle," Mathematical Gazette 56, May 1972, 105-108.