三乘積法則

三乘積法則triple product rule)是關於偏導數的一個恆等關係式,其表達式為:

註釋:每一個變量可視作另外兩個變量的函數。偏導數的下標表示在此變量為常數的條件下求導。

三乘積法則用於熱力學關係式的推導。例如溫度、壓力和體積之間的關係滿足:

利用三乘積法則,可以將不易測量的關係用容易測得的物理量代替,如:

推導

下面給出一個非正式的推導。設有函數f(x, y, z) = 0。若將z表示為xy的函數,則全微分dz等於

 

dz = 0的軌跡上,xy之間滿足

 

於是將dz = 0帶入上式,

 

重排得

 

將所有偏導數移到等式左邊,

 

此證明假定了偏導數存在,以及全微分dz存在,偏導數不為零從而能取倒數。數學分析的正式證明能避免這些隱含假定。

參見

參考資料

  • Elliott, JR, and Lira, CT. Introductory Chemical Engineering Thermodynamics, 1st Ed., Prentice Hall PTR, 1999. p. 184.
  • Carter, Ashley H. Classical and Statistical Thermodynamics, Prentice Hall, 2001, p. 392.