LQG控制
LQG控制(linear–quadratic–Gaussian control)的全名是線性二次高斯控制,是控制理論中的基礎最優控制問題之一。此問題和存在加性高斯白噪聲的線性系統有關。此問題是要找到最佳的輸出回授律,可以讓二次費用函數的期望值最小化。其輸出量測假設受到高斯噪聲的影響,其初值也是高斯隨機向量。
在「使用線性控制律」的最佳控制假設下,可以用completion-of-squares論述進行推導[1]。此控制律即為LQG控制器,就是卡爾曼濾波(線性二次狀態估測器,LQE)和LQR控制器的結合。分離原理指出狀態估測器和狀態回授可以獨立設計。LQG控制可以應用在線性時不變系統及線性時變系統,產生容易計算以及實現的線性動態回授控制器。LQG控制器本身是一個類似其受控系統的動態系統,兩者有相同的維度。
根據分離原理,在一些範圍較寬可能是非線性的控制器中,LQG控制器仍然是最佳的。也就是說「使用非線性控制架構不一定可以改善費用泛函的期望值」。這個版本的分離原理是隨機控制的分離原理(separation principle of stochastic control)提到就算過程及輸出雜訊源可能是非高斯鞅,只要其系統動態是線性的,其最佳控制仍可以分離為最佳狀態估測器(不再是卡爾曼濾波器)及LQR控制器[2][3]。LQR控制器也有用來控制擾動的非線性系統[4]。
問題和解的數學描述
連續時間
考慮連續時間的線性動態系統
其中 是系統狀態變數的向量, 是控制輸入向量, 是輸出量測值的向量,可用在回授上。系統受到加成性的高斯系統雜訊 及加成性的高斯量測雜訊 所影響。給定一系統,其目標是找到一控制輸入 ,此控制輸入在每個時間 下,和以往的量測量 有線性關係,而且此控制輸入可以讓以下的費用函數有最小值:
其中 為期望值。最終時間(horizon) 可能是有限值或是無限值。若最終時間為無限,則費用函數的第一項 可以忽略,和問題無關。而為了要讓費用函數為有限值,會定義費用函數為 。
求解上述LQG問題的LQG控制器可以用以下方程表示:
矩陣 稱為卡爾曼增益(Kalman gain),和第一個方程卡爾曼濾波有關。在時間 ,濾波器會根據過去量測及輸入來產生狀態 的估測值 。卡爾曼增益 是根據 、二個和白色高斯雜訊有關密度矩陣 、 及最後的 來計算。這五個矩陣會透過以下的矩陣Riccati微分方程來決定卡爾曼增益:
假設其解 ,則卡爾曼增益等於
矩陣 稱為回授增益(feedback gain)矩陣,是由 及 矩陣,透過以下的矩陣Riccati微分方程來決定
假設其解 ,回授增益等於
觀察上述二個矩陣Riccati微分方程,第一個沿時間從前往後算,而第二個是沿時間從後往前算,這稱為「對偶性」。第一個矩陣Riccati微分方程解了線性平方估測問題(LQE),第二個矩陣Riccati微分方程解了LQR控制器問題。這二個問題是對偶的,合起來就解了線性平方高斯控制問題(LQG),因此LQG問題分成了LQE問題以及LQR問題,且可以獨立求解,因此LQG問題是「可分離的」。
當 和雜訊密度矩陣 , 不隨時間變化 ,且 趨於無限大時,LQG控制器會變成非時變動態系統。此時上述二個矩陣Riccati微分方程會變成代數Riccati方程。
離散時間
離散時間的LQG控制問題和連續時間下的問題相近,因此以下只關注其數學式。
離散時間的線性系統方程為
其中 是離散時間, 是離散時間高斯白雜訊過程,其共變異數矩陣為 。
要最小化的二次費用函數為
離散時間的LQG控制器為
- ,
卡爾曼增益等於
其中 是由以下依時間往前進的矩陣Riccati差分方程所決定:
回授增益矩陣為
\ 其中 是由以下時間從後往前算的矩陣Riccati差分方程所決定:
若問題中所有的矩陣都是非時變的,且時間長度 趨近無窮大,則離散時間的LQG控制器就是非時變的。此時矩陣Riccati差分方程可以用離散時間的代數Riccati方程取代。可以決定非時變的離散線性二次估測器,以及非時變的離散LQR控制器。為了讓費用是有限值,會用 來代替 。
降階LQG問題
在傳統LQG設定中,當系統維度很大時,實現LQG控制器會有困難。降階LQG問題(reduced-order LQG problem)也稱為固定階數LQG問題(fixed-order LQG problem)先設定了LQG控制的狀態數。因為分離原理已不適用,此問題會更不容易求解,而且其解也不唯一。即使如此,降階LQG問題已有不少的數值演算法[5][6][7][8]可以求解相關的最佳投影方程(optimal projection equations)[9][10],其中建構了局部最佳化的降階LQG問題的充份及必要條件[5]。
LQG控制的強健性
LQG最佳化本身不確保有良好的強健性[11],需要在設計好LQG控制後,另外確認閉迴路系統的強健穩定性。為了提昇系統的強健性,可能會將一些系統參數由確定值改假設是隨機值。相關的控制問題會更加複雜,會得到一個類似的最佳控制器,只有控制器參數不同[6]。
相關條目
參考資料
- ^ Karl Johan Astrom. Introduction to Stochastic Control Theory 58. Academic Press. 1970. ISBN 0-486-44531-3..
- ^ Anders Lindquist. On Feedback Control of Linear Stochastic Systems. SIAM Journal on Control. 1973, 11: 323––343..
- ^ Tryphon T. Georgiou and Anders Lindquist. The Separation Principle in Stochastic Control, Redux. IEEE Transactions on Automatic Control. 2013, 58 (10): 2481––2494. doi:10.1109/TAC.2013.2259207..
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- ^ Green, Michael; Limebeer, David J. N. Linear Robust Control. Englewood Cliffs: Prentice Hall. 1995: 27. ISBN 0-13-102278-4.
延伸閱讀
- Stengel, Robert F. Optimal Control and Estimation. New York: Dover. 1994. ISBN 0-486-68200-5.