高精度計算

高精度計算是一種程序設計的算法。由於中央處理器的字長限制，如32位CPU中一個整數最大只能取值4,294,967,295（=2³²-1）。因此在進行更大範圍的數值計算中，往往要採取模擬手段。通常通過分離字符的方法通過數字數組進行輸入、通過數組倒序輸出、通過模擬豎式計算進行計算。一般而言，主要模擬的是按位運算，可以用不同的進位制達成不同的目的。

有許多程式庫支援高精度計算，最著名的是GNU多重精度運算庫。另外，Java，Python和Pascal也有原生的高精度運算支持。

應用

高精度計算的一個常見應用是公開密鑰加密，這些算法經常對長度上百位的整數進行運算。高精度計算的另一個應用是在需要沒有人為限制位數和沒有算術溢出的情況下使用。在檢查固定精度計算的結果以及確定公式中係數的精確值或近似值時，高精度計算也很有用。比如，在高斯求積中，我們需要確定${\sqrt {1/3}}$的值。

實現

高精度加法

簡介

高精度加法是信息學的一種重要算法。這種算法使用多個存儲單位進行計算，因此它的計算範圍超過一般使用一個存儲單位的算法。也是一些信息學競賽的常考題目。

基本算法

以358934760892734899+38960302975237462為例：

1、計算結果的位數

358934760892734899共18位

38960302975237462 共17位

故結果不會超過19位。

2、將要計算的數字分割成多段，按照順序排列（這裡以0-32767作為每一存儲單位存儲的數的限制）：

35	8934	7608	9273	4899
3	8960	3029	7523	7462

（為提高空間利用效率，可以一個存儲單位存儲多位數。）

3、將兩數相加。

	35	8934	7608	9273	4899
	3	8960	3029	7523	7462
和（不進位）	38	17894	10637	16796	12361
和（進位後）	39	7895	0638	6797	2361

4、輸出結果。

從高位到低位依次輸出。除最高位以外，其他低位上不足4位的要在前面補上0。

代碼實現

pascal：

var
  a,b,c:array[1..201] of integer; 
  n:string; 
  lena,lenb,lenc,i,x:integer; 
begin
  readln(n); 
  lena:=length(n); 
  for i:=1 to lena do a[lena-i+1]:=ord(n[i])-ord('0'); 
  readln(n); 
  lenb:=length(n); 
  for i:=1 to lenb do b[lenb-i+1]:=ord(n[i])-ord('0'); 
  i:=1; x:=0; 
  while (i<=lena) or(i<=lenb) do
  begin
    c[i]:=a[i]+b[i]+x; 
    x := c[i] div 10;  
    c[i] := c[i] mod 10;  
    i := i + 1; 
  end; 
  if x>0 then
  begin
    lenc:=i; 
    c[i]:=x; 
  end
  else lenc:=i-1; 
  for i:=lenc downto 1 do write(c[i]); 
end.

c++：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;

short a[510],b[510];
char ca[510],cb[510];
short ans[510];
short len;

void add(short a[],short b[])
{
    for(int i=0;i<len;++i)
    {
        ans[i]+=a[i]+b[i];
        if(ans[i]>=10)
        {
            ans[i+1]+=ans[i]/10;
            ans[i]%=10;
        }
    }
    if(ans[len])
        len++;
    else
        while((!ans[len-1])&&len>1)len--;
    return;
}
int main()
{
    scanf("%s",ca);
    scanf("%s",cb);
    short lena=strlen(ca);
    short lenb=strlen(cb);
    len=max(lena,lenb);
    for(short i=0;i<lena;++i)
        a[lena-i-1]=ca[i]&15;
    for(short i=0;i<lenb;++i)
        b[lenb-i-1]=cb[i]&15;
    add(a,b);
    for(short i=len-1;i>=0;--i)
        putchar(ans[i]|'0');
    return 0;
}

參見

• 乘法算法 § 大數字的快速乘法演算法
  • 卡拉楚巴算法
  • 圖姆-庫克算法
  • 頌哈吉-施特拉森演算法