馬特恩協方差函數

馬特恩協方差函數（英語：Matérn covariance function）是統計學中的一個協方差函數，其名稱源於瑞典林業統計學家馬特恩（Bertil Matérn）。^[1]該函數在空間統計學、地質統計學、機器學習、圖像分析以及其他度量空間上的多變量統計分析中都有着廣泛的應用。它常被用於定義兩點測量值之間的協方差。由於該協方差只取決於兩點間的距離，因而是平穩的。如使用歐幾里得距離來定義距離，此時的馬特恩協方差函數是各向同性的。

定義

馬特恩協方差函數的定義為：^[2]

C_{\nu }(d)=\sigma ^{2}{\frac {2^{1-\nu }}{\Gamma (\nu )}}{\Bigg (}{\sqrt {2\nu }}{\frac {d}{\rho }}{\Bigg )}^{\nu }K_{\nu }{\Bigg (}{\sqrt {2\nu }}{\frac {d}{\rho }}{\Bigg )}

,

其中d為兩點間距離， $\Gamma$ 為Γ函數， $K_{\nu }$ 為第二類貝塞爾函數，ρ與ν則為協方差的非負參數。

帶馬特恩協方差函數的高斯過程的樣本軌道是 $\lfloor \nu -1\rfloor$ 次可微的。^[3]

參見

徑向基函數

參考文獻

^ Minasny, B.; McBratney, A. B. The Matérn function as a general model for soil variograms. Geoderma. 2005, 128 (3–4): 192–207. doi:10.1016/j.geoderma.2005.04.003.
^ Rasmussen, Carl Edward (2006) Gaussian Processes for Machine Learning （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
^ Rasmussen, Carl Edward (2006) Gaussian Processes Covariance Functions and Classification （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）. Presentation at Gaussian Processes in Practice

[1] Minasny, B.; McBratney, A. B. The Matérn function as a general model for soil variograms. Geoderma. 2005, 128 (3–4): 192–207. doi:10.1016/j.geoderma.2005.04.003.

[2] Rasmussen, Carl Edward (2006) Gaussian Processes for Machine Learning （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

[R-3] Rasmussen, Carl Edward (2006) Gaussian Processes Covariance Functions and Classification （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）. Presentation at Gaussian Processes in Practice

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