雅各布森根

抽象代數之分支環理論中,一個環 R雅各布森根Jacobson radical)是 R 的一個理想,包含在某種意義上「與零接近」的那些元素。

定義

雅各布森根記做 J(R) 可用如下等價的方式定義:

  • 所有極大左理想
  • 所有極大右理想之交。
  • 所有R-模的零化子之交。
  • 所有單右 R-模的零化子之交。
  • 所有左本原理想primitive ideal)之交。
  • 所有右本原理想之交。
  • { xR : 對任何 rR 存在 uR 使得 u (1-rx) = 1 }
  • { xR : 對任何 rR 存在 uR 使得 (1-xr) u = 1 }
  • 如果 R交換R 的所有極大理想之交。
  • 最大理想 I 使得對所有 xI, 1-xR 中可逆。

注意,最後一個性質不意味着 R 中使 1-x 可逆的任何元素 x 都是 J(R) 的一個元素。

另外,如果 R 不可交換,則 J(R) 不必等於 R 中所有雙邊極大理想之交。

雅各布森根也能對沒有恆同元素(或說單位)的環定義。參見 I. N. Herstein 所著《Noncommutative Rings》。

雅各布森根以內森·雅各布森Nathan Jacobson)命名,他最先研究了雅各布森根。

例子

  • 任何的雅各布森根是 {0}。整數的雅各布森根是 {0}。
  • Z/8Z (參見模算術)的雅各布森根是 2Z/8Z
  • 如果 K 是一個域,R 是所有元素位於 K 中的上三角 n×n 矩陣環,則 J(R) 由主對角線為零的所有上三角矩陣組成。
  • 如果 K 是域,R = K[[X1,...,Xn]] 是形式冪級數環,則 J(R) 由常數項為零的所有冪級數組成。更一般地,任何局部環的雅各布森根由這個環的非單位環組成。
  • 由一個有限箭圖quiver)Γ 與一個域 K 開始,考慮箭圖代數 KΓ (在箭圖一文有具體說明)。這個環的雅各布森根由 Γ 中所有長度 ≥ 1 的道路生成。
  • 一個C*-代數的雅各布森根是 {0}。這得自蓋爾范德-奈馬克定理Gelfand–Naimark theorem)以及關於 C*-代數的事實,一個希爾伯特空間上的拓撲不可約 *-表示是代數不可約的,從而其核在純代數意義上是一個本原理想(參見C*-代數的譜)。

性質

另見

參考文獻

  • M. F. Atiyah, I. G. Macdonald. Introduction to Commutative Algebra.
  • N. Bourbaki. Éléments de Mathématique.
  • I. N. Herstein, Noncommutative Rings.
  • R. S. Pierce. Associative Algebras. Graduate Texts in Mathematics vol 88.
  • T. Y. Lam. A First Course in Non-commutative Rings. Graduate Texts in Mathematics vol 131.

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