階冪

在數學中，正整數的階冪（英語：expofactorial 或 exponential factorial）是所有小於及等於該數的正整數的冪，記作 n$ ，例如：

$4\$=4^{3^{2^{1}}}=262144$。

階冪是階加和階乘在冪運算上的類比。

前幾項的階冪數為

1 , 2 , 9 , 262144 , ... （OEIS數列A049384）

階冪的增長率比階乘，甚至過級階乘還要快。到了5的階冪，已經是 $5\$=5^{262144}\approx 6.206069878660874\times 10^{183230}$。

定義

一般地說，對於正整數 n，

$n\$=n_{}^{(n-1)^{{(n-2)}^{.\,^{.\,^{.\,^{{3}^{{2}^{1}}}}}}}}$

從上述公式中，可以推導出遞歸關係：

$\left\{{\begin{aligned}1\$&=1\\n\$&=n^{(n-1)\$}\end{aligned}}\right.$。

遞迴關係在階冪函數中任意正整數 n 皆成立，例如：

${\begin{aligned}5\$&=5^{4\$}\\6\$&=6^{5\$}\\50\$&=50^{49\$}\end{aligned}}$

非正整數的擴展

階冪原始的定義只在正整數上。不同於階乘，階冪的定義域從正整數推廣到實數和複數的過程中，遇到了困難。

與疊代冪次相似，由於冪塔高度為 0 的數值並沒有一個廣為接受的良好定義， $0\$$ 並未定義。階冪亦不像階乘般，存在如伽瑪函數一樣的函數，作為其對實數以至複數的擴展。

變化

雙階冪

類比於雙階乘，能夠為正整數 n 定義雙階冪（double expofactorial）。

當 $n$ 是單數，$n\$\$=n_{}^{(n-2)^{{(n-4)}^{.\,^{.\,^{.\,^{{5}^{{3}^{1}}}}}}}}$ 。

當 $n$ 是雙數，$n\$\$=n_{}^{(n-2)^{{(n-4)}^{.\,^{.\,^{.\,^{{6}^{{4}^{2}}}}}}}}$ 。

多重階冪

雙階冪能進一步推廣為多重階冪（multiple expofactorial）。 $n\$_{(m)}$被稱為 n 的 m 重階冪，定義為

$n\$_{(m)}=\left\{{\begin{aligned}&1\qquad \qquad \ &&{\mbox{if }}0\leq n<m\\&n^{(n-m)\$_{(m)}}&&{\mbox{if }}n\geq m\quad \ \ \,\end{aligned}}\right.$。

例如， $7\$_{(3)}=7^{4^{1}}=2401$。

超級階冪

類比於由尼爾·斯洛恩和西蒙·普勞夫定義的超級階乘，我們能定義超級階冪（superexpofactorial）為首 n 個階冪的疊冪，記作$\operatorname {se} (n)$。

$\operatorname {se} (n)=n\$_{}^{(n-1)\$^{{(n-2)\$}^{.\,^{.\,^{.\,^{{3\$}^{{2\$}^{1\$}}}}}}}}$

例如， $\operatorname {se} (3)={(3^{2^{1}})}^{({2^{1}})^{1}}=81$

前幾個超級階冪為

1 , 2 , 81, ...

第四個超級階冪值約為$7.975\times 10^{438}$。

過級階冪

過級階冪（hyperexpofactorial）寫作 $\operatorname {he} (n)$ ，其定義為

$\operatorname {he} (n)={^{n}n}_{}^{{^{n-1}(n-1)}^{{^{n-2}(n-2)}^{.\,^{.\,^{.\,^{{^{3}3}^{{^{2}2}^{^{1}1}}}}}}}}$，

其中 ${^{b}a}$ 表示疊代冪次。

例如， $\operatorname {he} (3)={(3^{3^{3}})}^{({2^{2}})^{1}}$

前幾項的過級階冪為

1 , 4 , 3381391913522726342930221472392241170198527451848561, ...

第四個過級階冪值約為$10^{10^{205.43}}$。

倒數階冪

倒數階冪（reciprocal expofactorial）是指所有小於及等於該數的正整數之倒數的疊冪：

${\frac {1}{n}}_{}^{({\frac {1}{n-1}})^{({{\frac {1}{n-2}})}^{.\,^{.\,^{.\,^{{({\frac {1}{3}})}^{{({\frac {1}{2}})}^{1}}}}}}}}$。

階冪的和及積

首 n 個階冪的和為

$\sum _{k=1}^{n}k\$=1\$+2\$+3\$+\cdots +n\$$。

首 n 個階冪的積為

$\prod _{k=1}^{n}k\$=1\$\times 2\$\times 3\$\times \cdots \times n\$$。

以上兩個數值的增長率，要比階冪本身還要快。

首 n 個階冪倒數的和為

$\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k\$}}=1+{\frac {1}{2\$}}+{\frac {1}{3\$}}+\cdots +{\frac {1}{n\$}}$。

當 n 趨向無窮大，其值收斂於 $1.6111149258083767361111...$。（OEIS數列A080219）

參見

• 階加
• 階乘

參考文獻

• Clifford A. Pickover (1995), Keys to Infinity, Wiley.
• Jonathan Sondow, "Exponential Factorial （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）" From Mathworld, a Wolfram Web resource
• Sloane, N. J. A., Sequences A049384 and A080219, The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.