閔可夫斯基不等式

数学不等式

數學中,閔可夫斯基不等式Minkowski inequality)表明Lp空間是一個賦范向量空間。設 是一個測度空間,那麼 ,我們有:

如果 等號成立當且僅當 ,或者 .

閔可夫斯基不等式是 中的三角不等式。它可以用赫爾德不等式來證明。和赫爾德不等式一樣,閔可夫斯基不等式取可數測度可以寫成序列向量的特殊形式:

將所有實數 維數)改成複數同樣成立。

值得指出的是,如果 ,則 可以變為 .

積分形式的證明

我們考慮    次冪:

 

(用三角形不等式展開  

 

(用赫爾德不等式

 

 

(利用  ,因為 

 

現在我們考慮這個不等式序列的首尾兩項。首項除以尾項的最後一個因子,即得

 

這正是我們所要的結論。

對於序列的情形,證明是完全類似的。

參閱

參考文獻