迷向二次型

在數學中，一個域 F 上的二次型稱為迷向（isotropic）的如果在一個非零向量上取值為零。不然稱為非迷向（anisotropic）的。更具體地，如果 q 是域 F 上向量空間 V 上一個二次型，則 V 中一個非零向量 v 稱為迷向的如果 q(v)=0。一個二次型是迷向的當且僅當對這個二次型存在非零迷向向量。

假設 (V,q) 是二次空間，W 是一個子空間。如果 W 中所有向量都是迷向的，稱之為 V 的一個迷向子空間；如果不存在任何非零迷向向量則稱之為非迷向子空間。一個二次空間的迷向指標（isotropy index）是迷向子空間的最大維數。

例子

1.雙曲平面是一個二維二次空間，其形式為 xy。

2. 有限維實向量空間 V 中一個二次型 q 是非迷向的當且僅當 q 是確定形式：

• 要麼 q 是正定的，即 q(v)>0，對所有非零向量 v 屬於 V；
• 或 q 是負定的，即 q(v)<0 對所有非零向量 v 屬於 V。

更一般地，如果二次型是非退化的具有符號 (p,q)，則迷向指標是 p 和 q 的最大值。

3. 如果 F 是一個代數封閉域，例如複數域，而 (V,q) 是一個至少二維的二次空間，則它是迷向的。

4. 如果 F 是一個有限域而 (V,q) 是一個至少三維的二次空間，則它是迷向的。

5. 如果 F 是 p-進數域 Q_p，而 (V,q) 是一個至少五維的二次空間，則它是迷向的。

與二次型分類的關係

從二次型分類的觀點來看，非迷向空間是任意維數的二次空間的基本構造塊。對一般域 F，非迷向二次型的分類是一個非平凡問題。相反，迷向形式容易處理得多。

相關條目

• 零向量
• 維特群
• 維特定理
• 對稱雙線性形式

參考文獻

• Serre, Jean-Pierre, A course in arithmetic. Translated from the French. Graduate Texts in Mathematics, No. 7. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1973.
• Milnor, John and Dale Husemoller, Symmetric bilinear forms. Springer-Verlag, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 73. 1973.