達布定理 (微分幾何)

達布定理數學領域微分幾何中關於微分形式的一個定理,部分地推廣了弗羅貝尼烏斯定理。它是包括辛幾何在內多個領域的基石。這個定理以讓·加斯東·達布[1] 命名,他在解 Pfaff 問題[2] 時建立了這個定理。

這個定理的推論之一是任何兩個同維數的辛流形是局部辛同胚的。這就是說,任何 2n-維辛流形能局部的看作帶標準辛形式的線性辛空間 Cn。應用於切觸幾何也有類似的結論。

定理的陳述和第一個推論

定理準確的陳述如下。[3] 設 θ 是一個 n 維流形上的 1-形式,使得 dθ 有常秩 p 。如果任一點都有

θ ∧ (dθ)p = 0 ,

那麼有一個局部的坐標系 x1,...,xn-p, y1, ..., yp ,在這個坐標系下

θ = x1 dy1 + ... + xp : θ = x1 dy1 + ... + xp dyp + dxp+1

dyp。 另一個方面,如果任一點有

θ ∧ (dθ)p ≠ 0 任何處,

那麼有一個局部坐標系 x1,...,xn-p, y1, ..., yp 使得

θ = x1 dy1 + ... + xp dyp + dxp+1.

特別的,設 ω 是 n=2m 維流形 M 上的一個辛 2-形式。M 上任一點 p 的局部,由 龐加萊引理,總有一個 1-形式 θ 滿足 dθ=ω 。進一步 θ 滿足達布定理的第一個假設,從而局部存在一個 p 附近的坐標卡 U 使得

θ = x1 dy1 + ... + xm dym

外導數便有

ω = dθ = dx1 ∧ dy1 + ... + dxm ∧ dym

坐標卡 U 稱為 p 附近的達布坐標卡。[4] 流形 M 能被這樣的卡覆蓋

換一種方式敘述,將 R2mCm 等同起來,令 zj = xj + i yj。如果 φ : UCn是一個達布坐標卡,那麼 ω 是標準辛形式 ω0Cn 上的拉回:

 

和黎曼幾何的比較

這個結論意味着辛幾何沒有局部不變性:在任何一點附近,總能取一個達布基。這和黎曼幾何具有顯著的不同,高斯絕妙定理指出曲率是黎曼幾何的一個局部不變量。曲率阻礙了將度量局部寫成一個平方和。

必須要強調的是,達布定理是說 ω 能在 p 附近的「整個鄰域」寫成一個標準形式。黎曼幾何中,度量總能在給定一「點」寫成一個標準形式,但一般不能在那個點的鄰域,除非局部為歐氏空間。

又見

注釋

  1. ^ Darboux (1882).
  2. ^ Pfaff (1814-1815).
  3. ^ Sternberg (1964) p. 140-141.
  4. ^ Cf. with McDuff and Salamon (1998) p. 96.

參考文獻

外部連結