西爾維斯特方程

西爾維斯特方程（英語：Sylvester equation）是控制理論中的矩陣方程，形式如下：

$AX+XB=C.$

其中$A_{n\times n}$、$B_{m\times m}$及$C_{n\times m}$是已知矩陣，n與m可以相等。方程中所有矩陣的係數都是複數。西爾維斯特方程有唯一解X的充要條件是A與-B沒有共同的特徵值。

AX+XB=C也可以視為是（可能無窮維中）巴拿赫空間中有界算子的方程。此情形下，唯一解X的充份必要條件幾乎相同：唯一解X的充份必要條件是A和-B的譜不互交。

解的存在及唯一

利用克羅內克積以及向量化量子$\operatorname {vec}$，可以改寫西爾維斯特方程為

$(I_{m}\otimes A+B^{T}\otimes I_{n})\operatorname {vec} X=\operatorname {vec} C,$

其中$I_{k}$為$k\times k$單位矩陣。在此形式下，可以將問題改為$mn\times mn$維的線性系統。

命題

假定複數的$n\times n$矩陣$A$和$B$，西爾維斯特方程針對任意$C$有唯一解$X$，若且唯 若$A$和$-B$沒有共同的特徵值。

證明

考慮線性轉換$S:M_{n}\rightarrow M_{n}$，$X\mapsto AX+XB$.

(i)假設$A$和$-B$沒有共同的特徵值，則其特徵方程式 $f(z)$和$g(z)$的最大公因式為$1$，因此存在複數多項式$p(z)$和$q(z)$，使得$p(z)f(z)+q(z)g(z)=1$。依照Cayley–Hamilton定理，$f(A)=0=g(-B)$；因此$g(A)q(A)=I$。令$X$為$S(X)=0$的解，則$AX=-XB$，重複上述作法，可得$X=q(A)g(A)X=q(A)Xg(-B)=0$。因此依照秩－零化度定理，$S$是可逆的，因此針對所有的$C$都存在唯一的解$X$。

(ii) 相對的，若假設$s$是$A$和$-B$的共同特徵值，則${\bar {s}}$也是$A^{H}$的特徵值。存在非零向量 $v$和$w$使得$A^{H}w={\bar {s}}w$以及$Bv=-sv$。選擇$C$使得$Cv=w$，則$AX+XB=C$沒有解$X$，考慮 $\langle (AX+XB)v,w\rangle =\langle Cv,w\rangle =\langle w,w\rangle$，等號的右邊為正值；而左側因為伴隨變換的性質為零,即 $\langle (AX+XB)v,w\rangle =\langle Xv,A^{H}w\rangle -s\langle Xv,w\rangle =s\langle Xv,w\rangle -s\langle Xv,w\rangle =0$。

Roth消去法則

假設二個大小分別為n和m的方陣A和B，以及大小為n乘m的矩陣C，則可以確認以下二個大小為n+m的方陣${\begin{bmatrix}A&C\\0&B\end{bmatrix}}$和${\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix}}$是否彼此相似。這二個矩陣相似的條件是存在一矩陣X使得AX-XB=C，換句話說，X為西爾維斯特方程的解，這稱為Roth消去法則（Roth's removal rule）。

可以用以下方式檢查，若AX-XB=C，則

${\begin{bmatrix}I_{n}&X\\0&I_{m}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&C\\0&B\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{n}&-X\\0&I_{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix}}.$

Roth消去法則無法延伸到巴拿赫空間中的無窮維有界算子中。

數值解

西爾維斯特方程數值解的經典演算法是Bartels–Stewart演算法，利用QR演算法將矩陣$A$和矩陣$B$轉換為舒爾形式，再用逆向取代法求解三角矩陣。此演算法若用LAPACK計算，或是GNU Octave的lyap函數計算，計算複雜度是${\mathcal {O}}(n^{3})$個數學運算。也可以參考其中的sylvester函數。在一些特定的影像處理應用中，西爾維斯特方程會有解析解。

相關條目

• 李亞普諾夫方程
• 代數Riccati方程

參考資料

• Sylvester, J. Sur l'equations en matrices px = xq. C. R. Acad. Sci. Paris. 1884, 99 (2): 67–71, 115–116. 
• Bartels, R. H.; Stewart, G. W. Solution of the matrix equation AX +XB = C. Comm. ACM. 1972, 15 (9): 820–826. doi:10.1145/361573.361582. 
• Bhatia, R.; Rosenthal, P. How and why to solve the operator equation AX -XB = Y ?. Bull. London Math. Soc. 1997, 29 (1): 1–21. doi:10.1112/S0024609396001828. 
• Lee, S.-G.; Vu, Q.-P. Simultaneous solutions of Sylvester equations and idempotent matrices separating the joint spectrum. Linear Algebra Appl. 2011, 435 (9): 2097–2109. doi:10.1016/j.laa.2010.09.034. 
• Wei, Q.; Dobigeon, N.; Tourneret, J.-Y. Fast Fusion of Multi-Band Images Based on Solving a Sylvester Equation. IEEE Transactions on Image Processing. 2015, 24 (11): 4109–4121. doi:10.1109/TIP.2015.2458572. 
• Birkhoff and MacLane. A survey of Modern Algebra. Macmillan. 1965: 213, 299.